专题02 三角恒等变换（知识点串讲）- 2020-2021学年高一下学期数学期末考点大串讲（苏教版2019）

专题02 三角恒等变换（知识点串讲） 知识整合 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ tan(α－β)＝ tan(α＋β)＝ 例 1 （江苏南京市第九中学高一年级第一学期期末）等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 例2、sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________． A． B. C. D． 【答案】：C 【解析】：原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝． 【跟踪练习】 1、（南通中学2019-2020学年高一下学期期末）设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. . . 因为. 所以. 故选B. 2、 cos15°的值是（ ） A． B. C. D． 【答案】：D 【解析】：cos15°＝cos(60°－45°)＝． 【解题技巧】熟练掌握公式的形式，做到公式的正用、逆用以及变形使用。 知识整合 二倍角公式 sin2α＝2sinαcosα； cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝． 2．降幂公式 sin2α＝； cos2α＝； sinαcosα＝． 例 3 化简：(0<θ<π)． 【解析】 由θ(0，π)，得0<<，∴ cos>0． 因此＝＝2cos． 又(1＋sinθ＋cosθ)＝ ＝2cos＝－2coscosθ． 故原式＝＝－cosθ． 【跟踪练习】： 变式1、已知tan＝－，且＜α＜π，则＝________． 【答案】：－ 【解析】 ：＝＝2cosα， 由tan＝－，得＝－，解得tanα＝－3． 因为＜α＜π，所以解得cosα＝－＝－． 所以原式＝2cosα＝2×＝－． 变式2：已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________． 【答案】： 【解析】 ： 由sinα＋cosα＝两边平方得1＋sin2α＝，解得sin2α＝－， 所以sin2＝＝＝＝． 【解题技巧】：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧． 知识整合 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ tan(α－β)＝ tan(α＋β)＝ sin2α＝2sinαcosα； cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝． asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝．φ的终边所在象限由a、b的符号来确定． 例 4、 三角函数式的化简与给角求值 (1) 化简： ； (2) 求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·． 【解析】 ：(1) 原式＝tan[＋]·＋tan·tan ＝． (2) 原式＝·sin 80° ＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝2sin(50°＋10°)＝2×＝． 【跟踪练习】 已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－． (1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． 【解析】 ：(1)∵α，β∈，从而－<α－β<． 　　又∵tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0． 　　∴sin(α－β)＝－． 　　(2)由(1)可得，cos(α－β)＝． 　　∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝． 　　∴cos β＝cos[α－(α－β)] 　　＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 　　＝×＋× ＝． 【解题技巧】：1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征；2．对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：① 化为特殊角的三角函数值；② 化为正、负相消的项，消去求值；③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值． 3．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan