数学探究 用向量法研究三角形的性质-【精彩三年】2020-2021学年高中新教材数学必修第二册课程探究与巩固配套PPT（人教A版 浙江专版）

杭州良品图书有限公司 精彩三年　课程探究与巩固·数学·必修第二册 数学探究　用向量法研究三角形的性质 第六章　平面向量及其应用 * 探究1　用向量法研究三角形的重心 定义：三角形的三条边上的中线交于一点，该点叫做三角形的重心． 如图，已知O是△ABC的重心，求证：＋＋＝0. 证明： 因为D，E，F分别是△ABC三条边的中点， 所以S△AOB＝S△AOC＝S△BOC＝S△ABC， 则DO＝DA，所以DO＝OA， 所以＝－2.又＋＝2， 所以＋＝－，即＋＋＝0. 探究2　用向量法研究三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心． 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O是△ABC的内心，求证：a＋b＋c＝0. 证明： 因为，分别为，方向上的单位向量， 所以向量＋平分∠BAC， 因为平分∠BAC，所以与＋共线， 所以＝λ，令λ＝， 所以＝， 化简得(a＋b＋c)＋b＋c＝0， a＋b(＋)＋c(＋)＝0， 所以a＋b＋c＝0. 探究3　用向量法研究三角形的垂心 定义：三角形的三条高线交于一点，该点叫做三角形的垂心． 已知O是△ABC的垂心，求证：·＝·＝·. 证明： 如图，O为△ABC的垂心， AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别是D，E. 所以⊥， ·＝0，即·(－)＝0. 所以·＝·. 同理·＝·， 所以·＝·＝·. 探究4　用向量法研究三角形的外心 定义：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心． 已知O是△ABC的外心，求证：(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 证明： 因为O是三角形外心，所以||＝||＝||， 所以2＝2＝2， 由2＝2得(＋)·(－)＝0， 即(＋)·＝0. 同理(＋)·＝(＋)·＝0， 所以(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 活学活用 重 1．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动 点P满足＝＋λ(＋)，λ>0，则动点P的轨迹一定通过 △ABC的______心． 【解析】 由原等式得－＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心． 内 2．若动点P满足＝＋λ，则动点P的轨迹一定通过 △ABC的______心． 【解析】 由条件可得，－＝λ，而＋分别表示平行于,的单位向量，知＋平分∠BAC，即AP平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心． 垂 3．若动点P满足＝＋λ，λ>0，则动点 P的轨迹一定通过△ABC的______心． 【解析】 由条件可得，＝λ， 从而·＝λ ＝λ＋λ＝0. 所以⊥.所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心． 4．已知P是△ABC所在平面内任一点，G是△ABC的重心，求证：＝ (＋＋). 证明： ＝＋＝＋＝＋， 所以3＝(＋＋)＋(＋＋)， 因为G是△ABC的重心， 所以＋＋＝0，所以＋＋＝0， 所以＝(＋＋). 5．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高线，求证：AD，BE，CF相交于 一点． 证明： 设BE，CF交于一点H， 令＝a，＝b，＝h， 则＝h－a，＝h－b，＝b－a， 因为⊥，⊥， 所以(h－a)·b＝0，(h－b)·a＝0， 则(h－a)·b＝(h－b)·a，得h·(b－a)＝0， 所以⊥. 又因为点D在AH的延长线上，所以AD，BE，CF相交于一点． 6．若动点P满足＝＋λ，λ>0， 求证：动点P的轨迹一定通过△ABC的外心． 证明： 由条件可得， －＝λ， 即＝λ， 所以·＝λ＝0， 即·(－)＝0，得2＝2，故||＝||， 所以动点P的轨迹一定过△ABC的外心． $