第12讲 平面向量及其加减运算-2020-2021学年沪教版（上海）八年级数学下册同步讲义（学生版+教师版）

第12讲 平面向量及其加减运算 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: ①小写英文字母表示法: 如等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量). 规定:与任一向量共线. 要点诠释： （1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 要点二、平面向量的加法运算 1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法. 2. 运算法则： （1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图： Ａ Ｂ Ｃ （2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则. （3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图：Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 　　　　　　　　　 　　　　　　 要点诠释： 1.两个向量的和是一个向量，规定. 2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则. 4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题. 3.运算律： （1）交换律：； （2）结合律： 要点三、向量的减法运算 1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法. 2.运算法则： 在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则. 要点诠释： （1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题. （2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定. （3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即. 【典型例题】（基础） 类型一、向量的基本概念 1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. （1）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上. （2）单位向量都相等. （3）任一向量与它的相反向量不相等. 【思路点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，并且要注意这两方面的结合. 【答案与解析】 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向不确定. ③不正确.零向量的