【湘教版】高一数学必修二第五章《三角恒等变换》学案（3份打包）

第2课时 两角和与差的三角函数 1．两角和的余弦公式的推导方法： 2．基本公式 sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．公式的变式 tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ) 1－tanα tanβ＝ 4．常见的角的变换： 2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋ α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β ＝(α－)－(－β)； ＝ 例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值. 解：原式= =[来源:学*科*网] =[来源:Z|xx|k.Com] = = = 变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（ ） A. B.7 C.－ D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ） A.－ B. C.－ D. 解：(1)A (2)B 例2. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值． 解：∵α－＋＋β＝α＋β＋ α∈() β∈(0,) ∴α－∈(0,) β＋∈(,π) ∴sin(α－)＝ cos()＝－ ∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)] ＝－cos[(α－)＋()]＝[来源:学科网ZXXK] 变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜， 求cos（+β）. 解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜. 故由cos（－）=－，得sin（α－）=. 由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（－）－（－β）］== ∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－. 例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 解 ∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=， ∴cosA=-=-=-， cosB=-=-=-， ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =×-×= ① 又∵＜A＜, ＜B＜, ∴＜A+B＜2 ② 由①②知，A+B=. 变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数. 解 在△ABC中，A+B+C=180°, 由4sin2-cos2B=, 得4·-2cos2B+1=, 所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是cosB=,B=60°. 例4．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2. 解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1) =sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1) =sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2- =sin2·sin2+cos2·sin2+cos2- =sin2+cos2-=1-=. 方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2 =cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2 =cos2-sin2·cos2-cos2·cos2 =cos2-cos2· =-cos2· =-cos2=.[来源:Zxxk.Com] 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=·+·-cos2·cos2 =(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2 =cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2 =cos2(+)-·cos(2+2)[来源:Z#xx#k.Com] =cos2(+)- ·［2cos2(+)-1］=. 变式训练4：化简：（1）sin+cos; (2）. 解 （1）原式=2 =2 =2cos=2cos(x-). （2）原式===1. 1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较