（学科网精校）上海市数学（理）文档版（有答案）-2013年普通高等学校招生统一考试

2013年 上海 高考理科数学 一、填空题 1．计算： 2．设 ， 是纯虚数，其中i是虚数单位，则 3．若 ，则 4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若 ，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 5．设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则 ． 6．方程 的实数解为________ 7．在极坐标系中，曲线 与 的公共点到极点的距离为__________ ． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 9．设AB是椭圆 的长轴，点C在 上，且 ，若AB=4， ，则 的两个焦点之间的距离为________ 10．设非零常数d是等差数列 的公差，随机变量 等可能地取值 ，则方差 11．若 ，则 ． 12．设 为实常数， 是定义在R上的奇函数，当 时， ，若 对一切 成立，则 的取值范围为________ 13．在 平面上，将两个半圆弧 和 、两条直线 和 围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为 ，过 作 的水平截面，所得截面面积为 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为__________ 14．对区间I上有定义的函数 ，记 ，已知定义域为 的函数 有反函数 ，且 ，若方程 有解 ，则 二、选择题 15．设常数 ，集合 ，若 ，则 的取值范围为（ ） (A) (B) (C) (D) 16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 17．在数列 中， ，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素 ，（ ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） (A)18 (B)28 (C)48 (D)63 18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 .若 分别为 的最小值、最大值，其中 , ,则 满足（ ）. (A) (B) (C) (D) 三、解答题 19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离. 20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 ），每小时可获得利润是 元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 21．（6分+8分）已知函数 ，其中常数 ； （1）若 在 上单调递增，求 的取值范围； （2）令 ，将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数 的图像，区间 （ 且 ）满足： 在 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的 中，求 的最小值． 22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线 ，曲线 ，P是平面上一点，若存在过点P的直线与 都有公共点，则称P为“C1—C2型点”． (1)在正确证明 的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； (2)设直线 与 有公共点，求证 ，进而证明原点不是“C1—C2型点”； (3)求证：圆 内的点都不是“C1—C2型点”． 23．（3 分+6分+9分）给定常数 ，定义函数 ，数列 满足 . （1）若 ，求 及 ；（2）求证：对任意 ，； （3）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ，若不存在，说明理由. 2013年 上海 高考理科数学（参考答案） 1． 填空题 1. 2. －2 3. 0 4. 5. －2 6. 7. 8. 9. 10. 30d² 11. 12. 13. 14. 2 2． 选择题 题号 15 16 17 18 代号 B B A D 3． 解答题 19. 【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故 ， 故ABC1D1为平行四边形，故 ，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C； 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得 而 中， ，故 所以， ，即直线BC1到平面D1AC的距离为 ． 20．【解答】(1)根据题意， 又 ，可解得