专题01 集合的概念与表示、集合间的关系、集合的运算（重难点突破）- 【教育机构专用】2021年暑假高一数学辅导讲义（北师大版2019）

2021年暑期高一数学辅导讲义北师大（2019） 专题01 集合的概念与表示、集合间的关系、集合的运算 1、 知识结构导图 2、 知识要点归纳 1. 基础概念 ⑴.集合的定义：一般地，指定的某些对象的全体称为集合。通常用大写字母表示，记作A，B，C，D ⑵.元素的定义：集合中的每个对象叫做这个集合的元素，记作：a，b，c，d。 ⑶.集合的三个特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 ①. 确定性 ：给定一个集合，那么任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了。 ②. 互异性 ：集合中的的元素一定是不同的。相同的元素归入统一集合时只能算集合的一个元素。 ③. 无序性 ：构成集合的元素之间无先后顺序之分。 ⑷.集合的分类：根据集合中所含元素的个数来分： 空集 、 有限集 、 无限集 。 ⑸.常用的数集： 正整数集：__或 非负整数集（即自然数集）：____ 整数集：_________ 有理数集：_________ 实数集：_________ 2. 集合的表示方法 ⑴.集合的表示方法有三种 列举法 、 描述法 、 图示法 。 ①. 列举法 ：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。格式： ②. 描述法 ：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。格式： ③. 图示法 ： a.数轴法：、、、。 对应的区间表示为、、、 b.Venn 图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 注：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行， 但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. 3. 两种关系 ⑴.元素与集合的关系 属于：a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作____。 不属于：a不是集合A中的元素，就说a不熟属于集合A，记作____。 ⑵.集合与集合的关系 性质 符号表示 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 相等 集合A与集合B所有元素相同 子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素 真子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素,且B中至少有一个元素在A中没有 4. 集合的三种运算 符号表示 集合表示 并集 交集 补集 【名师提醒】 1． 空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，  是任何集合的 子集 ，是任何非空集合 真子集 ，解题时不可忽视 。 2． 常用的运算性质： ⑴. __, __ , _=_ , __ , __, _=_ ⑵. __ , __ , __ 。 ⑶. __, __ 。 3． 子集、真子集个数问题：若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为个,真子集的个数为个，非空子集的个数为个，非空真子集的个数为个；对于有限集,设集合中有个元素，集合中有个元素。若，则的个数为个，若，则的个数为个，若，则的个数为个，若，则的个数为个。 4． 德摩根定律： ⑴.并集的补集等于补集的交集，即。 ⑵.交集的补集等于补集的并集，即。 5． 关于集合元素个数的运算(康托尔集合论)：如果用表示有限集的元素个数。则有如下结论： ⑴. ; ⑵.; 3、 重难点题型突破 考点1 集合的概念及其表示 归纳总结：判断一组对象能否构成集合的方法 (1)依据：元素的确定性是判断的依据。如果考察对象是确定的，客观存在的就能构成集合。如果是需要主观臆断的，就不能构成集合。 (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性。 (3)判断方法：①确定性是集合的最基本特征，没有确定性就不能构成集合。②互异性主要用于确定集合中元素的个数及求集合中参数的取值。③无序性主要应用在判断两个集合是否相等。 例1.（1）（2019·广西百色市·平果二中高一月考）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ） A．2007年所有的欧盟国家 B．校园中长的高大的树木 C． 学校篮球水平较高的学生 D．中国经济发达的城市 【答案】 A． 【解析】根据集合三个特性中的确定性解题。凡是客观存在的就能被确定，需要主观臆断的就不能被确定。 A：因为2007年欧盟国家是客观存在的，不需要主观臆断能被确定，所以本选项符合题意； B：因为高大的树需要主观臆断，多高才叫高大，每个人的标准都不一样，需要主观臆断，不能被