第4讲 直线方程-2021-2022学年高二数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

直线方程 模块一：确定直线的几何要素 1． 直线的倾斜角的概念 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．特别地，当直线与轴平行或重合时，规定．因此倾斜角的取值范围是． 2． 直线的斜率： 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，也就是 ⑴直线与轴平行或重合时，，； ⑵时，直线的倾斜角为锐角，此时，值增大，直线的倾斜角也随着增大； ⑶时，直线的倾斜角为钝角，此时，值增大，直线的倾斜角也随着增大； ⑷当直线与轴垂直时，，不存在．由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在； ⑸当是锐角时，． 例如，时，；时，． 学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度． 3． 直线的斜率公式： 设，，则： 斜率公式： 对于上面的斜率公式要注意下面五点： ⑴ 当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； ⑵ 与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； ⑶ 斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； ⑷ 当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合． ⑸ 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 考点1：直线的倾斜角与斜率 例1.（1）在下列四个命题中，正确的共有　　 ①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率； ②直线的倾斜角的取值范围是，； ③若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为； ④若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （2）三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 例2.（1）已知直线过，两点，则直线的斜率为　　 A． B． C． D． （2）已知，，直线过与线段相交，则直线的斜率的取值范围是(　　 A． B．或 C．或 D． （3）在平面直角坐标系中，已知、若过点的直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围是　　． 考点2：三点共线 例3.（1）若三点、、共线，则的值为　　 A．4 B． C．2 D． （2）如果、、三点在同一条直线上，那么的值是　　 A． B． C． D． 模块二：直线方程 直线方程的形式： 1．点斜式方程：，由直线上一点和斜率确定直线方程； 2．斜截式方程：，由直线的斜率和其在轴上的截距确定直线的方程； 3．两点式方程：，由直线上两点确定方程； 4．截距式方程：，由直线在，轴上的截距，确定方程； 5．一般式方程：，可表示平面上所有直线． 考点3：直线方程基本量问题 例4.（1）下列说法中正确的是　　 A．表示过点，，且斜率为的直线方程 B．直线与 轴交于一点，其中截距 C．在轴和轴上的截距分别为与的直线方程是 D．方程表示过点，，，的直线 （2）过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为　　 A． B． C．或 D．或 （3）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是　　 A． B． C． D． 例5.（1）在平面直角坐标系中，方程表示的直线可能为　　 A． B． C． D． （2）已知直线的方程是，的方程是，则如图所示各示意图形中，正确的是　　．（填序号） （3）如果，，那么直线不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点4：直线恒过点 例6.（1）已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围　　． （2）若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是　． （3）已知直线及两点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是　　． （4）已知两点，，直线．当直线与线段相交时，试求直线斜率的取值范围　　． 模块三：直线间位置关系与距离公式 1．两条直线的位置关系（斜截式）：， ⑴ 两条直线相交、平行与重合条件： ①相交的条件： ②平行的条件：且 ③重合的条件：，． ⑵ 两条直线垂直的条件： 2．两条直线的位置关系（一般式）：，； ⑴ 两条直线相交、平行与重合条件： ①相交的条件：或 ②平行的条件：且或 ③重合的条件：，，或 ⑵ 两条直线垂直的条件：． 3.点到直线以及平行线之间的距离公式： ⑴ 点到直线的距离的计算公式：． ⑵ 两条平行线，之间的距离为，则． 考点5：已知位置关系反求参 例7.已知两条直线与的交点． （1）求过点且过原点的直线方程； （2）求过点且垂直于直线的直线的方程． 例8.平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分成六部分，则实数的取值集合　　 A． B．， C． D．，0， 例9.（1）中，已知，，，则边上的中线所在的直线的一般式方程为　　． （2）与直线垂直，且与原点的距离为的直线的方程是　　． 例10.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的内角平分线所在直线方程为． （Ⅰ）