第8讲 抛物线-2021-2022学年高二数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

考点一：抛物线定义及标准方程 1．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程：，焦点在轴正半轴上，坐标是，准线方程是，其中是焦点到准线的距离． 题型一：抛物线定义 1．已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切，那么动圆的圆心的轨迹方程是 A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，并且平面，则动点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．线段 题型二：抛物线标准方程 1．已知顶点在原点，关于轴对称的抛物线与直线交于，两点，若，则抛物线的方程为 A． B． C．或 D．以上都不是 2．抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，，若，则抛物线的方程为 ． 考点二：抛物线的几何性质 1. 范围：抛物线在轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． 2. 对称性：以轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3. 顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点． 4. 离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用表示，． 1、 抛物线方程的四种形式如下 标准方程 图形 对称轴 焦点坐标 准线方程 轴 轴 2、 抛物线的重要结论 标准方程：； 焦点：，通径；准线：； 焦半径：， 过焦点弦长 题型三：抛物线几何性质 1．以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，，则的最大值为 ． 2．已知直线过点，与抛物线交于、两点，当不与轴垂直时，在轴上存在一点，使得的内心在轴上，则实数 ． 课后综合巩固练习 1．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则 A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 2．已知点在抛物线上，过焦点且斜率为1的直线与相交于，两点，且，两点在准线上的投影分别为，两点，则的面积为 A． B． C． D． 3．设为抛物线的焦点，，，为上互相不重合的三点，且、、成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为 或 ． 4．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则动点的轨迹方程为 ． 5．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于，两点，则的面积为 ． 6．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则 ． 7．曲线，设过焦点且斜率为的直线交曲线于两点，，且，求的方程． $ 目录 考点一：抛物线定义及标准方程 2 题型一：抛物线定义 2 题型二：抛物线标准方程 4 考点二：抛物线的几何性质 5 题型三：抛物线几何性质 6 课后综合巩固练习 8 考点一：抛物线定义及标准方程 1．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程：，焦点在轴正半轴上，坐标是，准线方程是，其中是焦点到准线的距离． 题型一：抛物线定义 1．已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切，那么动圆的圆心的轨迹方程是 A． B． C． D． 【分析】令点坐标为，，动圆得半径为，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，，，，化简可求． 【解答】解：令点坐标为，，动圆得半径为， 则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，，， 在直线的右侧，故到定直线的距离是， 所以，即， 化简得：． 故选：． 【点评】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是由根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得． 2．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，并且平面，则动点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．线段 【分析】取棱的中点，棱的中点，证明平面平面，是侧面上的动点，可得是线段上的点时，平面，即可得出结论． 【解答】解：取棱的中点，棱的中点，则， ， ， 平面，平面， 平面， 同理，平面， ， 平面平面， 是侧面上的动点， 是线段上的点时，平面， 故选：． 【点评】本题考查轨迹问题，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力 题型二：抛物线标准方程 1．已知顶点在原点，关于轴对称的抛物线与直线交于，两点，若，则抛物线的方程为 A． B． C．或 D．以上都不是 【分析】设出抛物线的方程，直线与抛物线方程联立消去，进而根据韦达定理求得的值，进而利用弦长公式求得，利用，则抛物线的方程可得． 【解答】解：设抛物线的方程为，则 抛物线与直线，消去得，， ， ，，或6 或． 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键