第2讲 空间向量的数量积和坐标运算-2021-2022学年高二数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量的数量积和坐标运算 考点一：空间向量的数量积运算 两个向量的夹角：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．通常规定． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且． 如果，则称与互相垂直，记作． 两个向量的数量积： 已知空间两个向量，，定义它们的数量积（或内积）为：， 两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式： ，， ． 空间两点的距离公式 若，，则 ①； ②； ③ 的中点坐标为． 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ ；⑵ ；⑶ ． 空间两个向量的数量积满足如下运算律： ⑴ ；⑵ ；⑶ ． 若：，， 则：；； ；． 题型一：数量积计算 1．已知球是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是　　． 2．正方体的棱长为1，是正方体内切球的直径，为正方体表面上的动点，则的最大值为　　． 题型二：数量积计算向量模长 1．如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于　　． 2．、是直线上的两点，，于，于，，又与成的角，则、两点间的距离是　　 题型三：数量积坐标运算计算向量夹角 1．已知，1，，，，，则，最大值为　　 A． B． C． D． 考点二：用坐标讨论共线和垂直 空间向量的平行和垂直的条件： 设，， （）； 方向向量：已知向量，在空间固定一个基点，再作向量，则点在空间的位置就 被向量所唯一确定了．这时，我们称这个向量为OA方向向量． 设直线和的方向向量分别为和， （或与重合）； 若向量和是两个不共线的向量，且都平行于平面（即向量的基线与平面平行或在平面内）， 直线的一个方向向量为，则或在内存在唯一两个实数，使． 线线角：两条直线所称角设为，则。 设直线和的方向向量分别为和，则或 即：所称线线角与方向向量角相等或互补 故有如下结论： 向量在方向上的投影为：= ，同理向量在方向上的投影为=。 题型四：数量积判断向量的共线和垂直 1．已知点，0，、，1，、，0，，，． （1）若，且，求； （2）求，； （3）若与垂直，求． 题型五：空间向量的投影 1．在中，，，，是的内心，则向量在向量上的投影为　　． 课后综合巩固练习 1．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为 A． B．1 C． D． 2．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为 A．3 B． C．6 D． 3．已知，且，则 A． B．2 C． D． 4．如图，在三棱锥中，已知，，，则_____． 5．已知空间三点，2，，，1，，，，． （1）求； （2）求以，为边的平行四边形的面积． 6．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． （1）求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． $ 目录 考点一：空间向量的数量积运算 2 题型一：数量积计算 3 题型二：数量积计算向量模长 4 题型三：数量积坐标运算计算向量夹角 5 考点二：用坐标讨论共线和垂直 6 题型四：数量积判断向量的共线和垂直 8 题型五：空间向量的投影 9 课后综合巩固练习 9 空间向量的数量积和坐标运算 考点一：空间向量的数量积运算 两个向量的夹角：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．通常规定． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且． 如果，则称与互相垂直，记作． 两个向量的数量积： 已知空间两个向量，，定义它们的数量积（或内积）为：， 两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式： ，， ． 空间两点的距离公式 若，，则 ①； ②； ③ 的中点坐标为． 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ ；⑵ ；⑶ ． 空间两个向量的数量积满足如下运算律： ⑴ ；⑵ ；⑶ ． 若：，， 则：；； ；． 题型一：数量积计算 1．已知球是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是　　． 【分析】设球的半径为，则，解得．可得． 【解答】解：设球的半径为，则，解得． ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了正八面体及其内切球的性质、等边三角形与直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力 2．正方体的棱长为1，是正方体内切球的直径，为正方体表面上的动点，则的最大值为　　． 【分析】连接，可得，当取得最大值时，即可得出取得最大值． 【解答】解：连接PO可得 ， 当取得最大值时，取得最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了数量积运算、正方体及其内切球的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 题型二：数量积计算向量模长 1．如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于　　． 【分析】由