第1讲 集合的概念、表示方法及集合之间的关系-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第1讲 集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系 【基础知识】 一、集合的意义 1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 5.有限集：含有有限个元素的集合。 6.无限集：含有无限个元素的集合。 7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。 8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集 9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作 。 二、集合的表示方法 1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。通常元素个数较少时用列举法。 2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 三、集合之间的关系 1、子集： 定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此时我们称A是B的子集。 即： 记作： ；读作：A包含于B或B包含A； 注意: 有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合 2、真子集： 【考点剖析】 考点一：集合的意义 例1．下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子； (4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1． 【难度】★ 【答案】(1)(3)(5) 例2.已知x、y、z为非零实数，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(z,|z|)＋eq \f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 例3.用“ ”或“ ”填空 (1)－3______N； (2)3．14______Q； (3)eq \f(1,3)______Z； (4)－eq \f(1,2)______R； (5)1______N*； (6)0________N． 【难度】★ 【答案】(1) 　(2) 　(3) 　(4) 　(5) 　(6) 例4.已知集合 ，且 中只有一个元素，求 的值． 【难度】★★ 【答案】 例5.已知 ，求实数 的值． 【难度】★ 【答案】 例6.已知集合S的三个元素a．、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形　 【难度】★ 【答案】D 例7.设A为实数集，且满足条件：若a．∈A，则 ∈A (a．≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 证明． 【难度】★★ 【答案】(1)若a．∈A，则 ∈A，又∵2∈A，∴eq \f(1,1－2)＝－1∈A． ∵－1∈A，∴eq \f(1,1－(－1))＝eq \f(1,2)∈A，∵eq \f(1,2)∈A，∴eq \f(1,1－\f(1,2))＝2∈A，∴A中另外两个元素为－1，eq \f(1,2)． (2)若A为单元素集，则a＝ ，即a．2－a．＋1＝0，方程无解． ∴a．≠ ，∴A不可能为单元素集 例8.设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？ 【难度】★★ 【答案】8 考点二：集合的表示方法 例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合 【难度】★ 【答案】（1） ；（2） 例2.用描述法表示下列集合： （1）被5除余1的正整数所构成的集合 （2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数 的图像上所有的点 （4） 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） ； ；（4） 例3.用列举法表示下列集合：（1） （2） （3） （4） 【难