专题01 平面向量（知识点串讲）- 2020-2021学年高一下学期数学期末考点大串讲（苏教版2019）

专题01 平面向量（知识点串讲） 知识整合 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 例 1 多选)给出下列命题，不正确的有(　　) A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 【答案】　ACD 【解析】　A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点； B正确，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形； C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件； D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． 故选ACD. 【跟踪练习】． 1、给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； ③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误的命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解析】　 ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D. 2、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心． （1）与相等的向量有 ； （2）与相等的向量有 ； （3）与共线的向量有 ． 【答案】（1），，；（2）； （3）． 【解题技巧】1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈；4．非零向量与的关系：是与同方向的单位向量． 知识整合 向量的线性运算（☆☆☆） 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a． (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 例 2 （四川省成都市棠湖中学高一下学期期末）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，所以 故答案为：C. 例3、在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　) A．1 B． C. D. 【答案】　D 【解析】 由题意易得＝＋＝＋， 则2＝＋， 即＝＋.所以λ＝，μ＝， 故λ＋μ＝＋＝. 【跟踪练习】 1、在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 2、如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则等于(　　) A.－ B.＋ C.－ D.＋ 【答案】：1．A　2．A 【解析】 　1．作出示意图如图所示． ＝＋＝＋ ＝×(＋)＋(－) ＝－.故选A. 2．因为DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC， 所以E是AC的中点， 可得＝＋＝(＋)＋ ＝－＝－，故选A. 3、如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝________. 【答案】：3 【解析】 根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋. 因为＝r＋s，所以r＝，s＝， 则2r＋3s＝1＋2＝3. 【解题技巧】1．解题的关键在于熟练地找出图形中的相