作业04 椭圆的标准方程和性质-2021年高二数学暑假作业（沪教版）

作业04 椭圆的标准方程和性质 一、单选题 1．对于椭圆 ，若点 满足 ，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A在过点 的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为（ ） A．三角形及其内部 B．矩形及其内部 C．圆及其内部 D．椭圆及其内部 【答案】B 【分析】由 在椭圆上，根据椭圆的对称性，则 关于坐标轴和原点的对称点 都在椭圆上，即可得结论． 【详解】设 在过 的任意椭圆 内或椭圆 上， 则 ， ，即 ， 由椭圆对称性知， 都在任意椭圆上， ∴满足条件的 点在矩形 上及其内部， 故选：B． 【点睛】本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点 在椭圆上，则 也在椭圆上，这样过 点的所有椭圆的公共部分就是矩形 及其内部． 2．当ab＜0时，方程ay2﹣ax2﹣b＝0所表示的曲线是（　　 ） A．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线 C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线 【答案】B 【分析】化简方程，然后判断表示的曲线即可． 【详解】当ab＜0时，方程ay2﹣ax2﹣b＝0即ay2﹣ax2＝b化简得 ， 即： 方程表示双曲线．焦点坐标在x轴上； 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 3．已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与 的延长线、 的延长线以及线段 相切，若 为其中一个切点，则（ ） A． B． C． D． 与2的大小关系不确定 【答案】A 【分析】由题意知，圆C是 的旁切圆，点 是圆C与 轴的切点，设圆C与直线 的延长线、 分别相切于点 、 ，由切线的性质可知： ， ， ，结合椭圆的定义，即可得出结果. 【详解】由题意知，圆C是 的旁切圆，点 是圆C与 轴的切点， 设圆C与直线 的延长线、 分别相切于点 、 ， 则由切线的性质可知： ， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 故选A 【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型. 二、填空题 4．如图， 、 是椭圆 的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与 、 重合，点N满足： ， ，则 与 的面积之比为________. 【答案】 【分析】设 为椭圆的左顶点，由此求出点 ， ， 的坐标，利用直角三角形的性质求出 的长度，进而可以求解． 【详解】解：设 为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可得 在 的正半轴上， 则 ， ， ， 由 ，可得 ， 则 ， 故答案为： ． 5．若焦点在x轴上的椭圆 的焦距为 ，则m的值为________. 【答案】9 【分析】由已知焦距即可求出c的值，进而可以求解. 【详解】解：由已知可得： ，所以 ， 又 ， 所以 ， 故答案为：9. 6．若 ， ， ， 四点中恰有三点在椭圆 EMBED Equation.DSMT4 上，则椭圆C的方程为________. 【答案】 【分析】由于 ， 关于轴对称，故由题设知C经过 ， 两点，C不经过点 ，然后求出a，b，即可得到椭圆的方程. 【详解】解：由于 ， 关于轴对称，故由题设知 经过 ， 两点，所以 . 又由 知， 不经过点 ，所以点 在上，所以 . 因此 ，故 的方程为 . 故答案为： . 【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法： ①定义法：根据椭圆的定义，确定 ， 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 ， ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 轴上和 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 ． 7．已知椭圆 的焦点为 ， ，椭圆上的动点 坐标 ，且 为锐角， 的取值范围为______． 【答案】 【分析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，写出圆的方程，与椭圆方程联立，消去y求得交点的横坐标，然后可得答案. 【详解】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部， , 所以该圆的方程为： ， 由 ，消去y得： 解得 , 又∵P在椭圆上，且由 为锐角，可知P不在x轴上， 由于 的左右顶点横坐标分别为-3和3， ∴为使 为锐角， 的取值范围是 故答案为： . 【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，关键是有题意得到P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，注意由 为锐角，可知P不在x轴上，还要注意结合椭圆的范围求解. 8．已知动圆过定点 ，且与圆 相切，则动圆的圆心 的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】根据圆心 到定点 与圆 圆心的距离之和为定值判断即可. 【详解】圆 即圆 ,圆心为 ,半径为 . 又因为 在圆 内,故动圆与圆 内切. 设动圆半径为 ,则圆心 到 与 的距离之和为 . 故动圆的圆心 是以 与 为焦点, 的椭圆, 故 . 故动圆的圆心 的轨迹方程是 . 故答案为： 【点睛】本