作业02 曲线和方程-2021年高二数学暑假作业（沪教版）

作业02 曲线和方程 一、单选题 1．直角坐标平面 中，已知两点 ， ，若点 满足 ，其中 且 ，则点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点 ，由平面向量数乘的坐标表示可得 ，即可得解. 【详解】设点 ，则 ， 因为 ， ，所以 ， ， 所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， 即点 的轨迹方程为 . 故选：D. 2．已知曲线 的参数方程 ．若以下曲线中有一个是 ，则曲线 是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】消参把参数方程化为普通方程，再有 确定 的取值范围即可确定轨迹． 【详解】由 ，消参化简可得 ， 因此B正确 故选B 【点睛】本题考查参数方程向普通方程的转化以及方程的轨迹，注意参数的取值范围． 3．在平面直角坐标系xOy中，设点集 ，则G中的点都落在曲线（ ）． A． 上 B． 上 C． 上 D． 上 【答案】B 【分析】根据方程的解与曲线上的点的关系解答即可。 【详解】 ，所以 上点在 上，故A错误； 上点在 上，故B对； 上点在 ，故C错误； 与 曲线方程不同，故D错误； 故选：B 【点睛】本题考查方程的解与曲线上的点的关系，属于基础题。 4．已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为 .若 ,其中 为常数,则动点M的轨迹不可能是 （　　） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 试题分析：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系， 设M（x，y），A（-a，0）、B（a，0）； 因为 ，所以y2=λ（x+a）（a-x）， 即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆． 当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程； 当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程; 当λ=0时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程． 故选C． 考点：轨迹方程的求法,圆锥曲线方程。 点评：中档题，判断轨迹是什么，一般有两种方法，一是定义法，二是求轨迹方程后加以判断。 二、填空题 5．已知两定点 ，则到点 距离等于到点 的距离的2倍的动点 的轨迹方程为_________. 【答案】 【分析】设 ，利用两点间距离公式表示出 ，整理可得结果. 【详解】设动点 的坐标为 即 ，整理可得： 即动点 的轨迹方程为： 故答案为 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够动点坐标表示出已知的等量关系，属于基础题. 6．已知定点 和曲线 上的动点 ，则线段 的中点 的轨迹方程为________ 【答案】 【分析】通过中点坐标公式，把点 的坐标转移到 上，把点 的坐标代入曲线方程，整理可得点 的轨迹方程。 【详解】设点 的坐标为 ，点 EMBED Equation.DSMT4 ，因为点 是线段 的中点，所以 解得 ，把点 的坐标代入曲线方程可得 ， 整理得 ，所以点 的轨迹方程为 故答案为： 【点睛】本题考查中点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题。 7．关于曲线，给出下列四个结论： ①曲线 是双曲线； ②关于轴对称； ③关于坐标原点中心对称； ④与轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是________．（注：把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②④ 试题分析：对应①，曲线，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线，错误；对应②，若点在双曲线上，则有，点关于轴对称点，也满足，故曲线关于轴对称，正确；对应③若点在双曲线上，则有，点关于原点对称点，则不满足，故曲线不关于原点对称，错误；对于④由图可得与轴所围成封闭图形面积小于2，正确；故答案②④. 考点：命题的真假性的判断. 8．设动点 的轨迹为抛物线 ，点 为定点.若线段 的中点为点 ，则点 的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】设点 ，可得出点 ，再将点 的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点 的轨迹方程. 【详解】设点 、 ，由中点坐标公式得 ，可得 ， 由于点 在抛物线 上，即 ，所以， ，化简得 . 因此，点 的轨迹方程为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题. 9．以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线 与椭圆 有相同的焦点；②设 、 是两个定点， 为非零常数，若 ，则动点 的轨迹为双曲线的一支；③设点 、 分别是定圆 上一个定点和动点， 为坐标原点，若 ，则动点 的轨迹为圆；其中真命题是_________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①③ 【分析】①根据双曲线和椭圆的几何性质即可得解；②根据双曲线的定义即可得解；③根据平面向量的加法法则，可知点 为弦 的中点，再判定点 的轨迹即可． 【详解】①在双曲线中， ，在椭圆中， ，且焦点均在 轴上，所以①正确； ②由双曲线的定义知，只