初中数学强基计划数论专题1：数的表示方法与解题导引

初中强基计划数论专题1：数的表示方法与解题导引 【知识梳理】 数的表示方法 1.带余除法： 定义：设＞0，如果存在，使得＜b，称为除以所得的商，称为除以所得的余数。 2.算术基本定理： 设是大于1的整数，则是不同的素数，的正约数的个数为个。 3.多项式表示 4.P进制表示 5、数的分类：奇数和偶数，质数和合数 【解题导引】 若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”，例如，不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象.如果从这个自然数中任取一个数，那那么取到“连加进位数”的概率是 . 0.88 例1、设为质数，并且和也都是质数，若记，则在以下情况中，必定成立的是（ ）． 、都是质数；　　　　　　 、都是合数； 、一个是质数，一个是合数； 、对不同的，以上各情况皆可能出现． 答案：． 解：当时，与皆为质数，而， 都是质数； 当质数异于时，则被除余，设，于是， ，它们都不是质数，与条件矛盾！ 例2、的末位数字是（ ）． 、； 、； 、； 、． 答案： 解：的末位数字按的顺序循环，而的末位数字按的顺序循环， 因为是形状的数，所以的末位数字是，而的末位数字是， 所以的末位数字是． 例3、能使是完全平方数的正整数n的值为 ． 【答】 11. 当时，，若它是完全平方数，则n必为偶数． 若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数． 当时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。 设（k为自然数），则．由于和一奇一偶，所以，于是，故． 例4.小丽在研究整数时发现：4=22-02，12=42-22，20=62-42，她思考：这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，这样的数很有意思，所有她称这些正整数为“和谐数”．因此4，12，20这三个数都是和谐数．现在同学们利用小丽的发现回答下列问题： (1)　28和2 012这两个数是和谐数吗？为什么？ (2)　设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？ (3)　两个连续奇数的平方差（取正数）是和谐数吗？为什么？ 解：(1) 找规律： 4=4×1=22-02， 12=4×3=42-22， 20=4×5=62-42， 28=4×7=82-62， …… 2 012=4×503=5042-5022，所以28和2 012都是和谐数． (2)　(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)， 因此由这两个连续偶数2k+2和2k构造的和谐数是4的倍数． (3)由(2)知，和谐数可以表示成4(2k+1)，因为2k+1是奇数，因此和谐数是4的倍数，但一定不是8的倍数； 另一方面，设两个连续奇数为2n+1和2n-1，则(2n+1)2-(2n-1)2=8n，（10分）即两个连续奇数的平方差是8的倍数． 因此，两个连续奇数的平方差不是和谐数． 例5 能使是完全平方数的正整数n的值为 ． 【答】 11. 当时，，若它是完全平方数，则n必为偶数． 若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数． 当时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。 设（k为自然数），则．由于和一奇一偶，所以，于是，故． 例6 请确定最小正整数，其末位数为6，若将末位的6移至首位，其余数字不变，则为原数的4倍． 解：设为位数，，令，则，于是有，则，，． 因是整数，即． 当时，，13不能整除96； 当时，，13不能整除996； 当时，，13不能整除9996； 当时，，． 所以，． 所以，． 例7、材料一：一个整数能够被9整除，则它的各个数位上数字之和能被9整除； 材料二：我们把形如（其中且为整数）的五位正整数称为“对称凹数”，例如：86068、71017都是“对称凹数”． （1）最小的“对称凹数”是___________，最大的“对称凹数”是___________； （2）五位正整数都是“对称凹数”，若满足的同时，与之和仍构成一个新的“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被9整除，请求出“对称凹数”与． 【答案】（1）；（2）或或或 【解析】（1）由新定义可得：且为整数， 所以“对称凹数”为最小时， 最小的“对称凹数”是 所以“对称凹数”为最大时， 最大的“对称凹数”是 故答案为： （2）设为 为 且且为整数，且为整数， 新“对称凹数”能被9整除， 能被9整除， 能被9整除， ＞ ， 又且为整数，且为整数， 或 或， 当时， 当时，则，不合题意舍去， 当时，则 不合题意舍去， 当时，则 符合题意， 此时： 当时，则