初中数学强基计划数论专题2：整除的探索方法与解题导引

初中强基计划数论专题2：整除的探索方法与解题导引 整除是初等数论中一个基本内容，它是数学竞赛中经常涉及到的一个问题。整数集对于加法、减法、乘法运算是封闭的，换言之，两个整数通过加法、减法与乘法运算后仍为整数，然而整数集对于除法运算是不封闭的，因而研究整数之间的除法成了数论中的重要部分。随着带余除法的引入，质数余合数，因数与倍数，最大公约数与最小公倍数，完全平方数等丰富内容受到了人们的青睐。 [基础知识] 1、带余除法： 定义1：设 ＞0，如果存在 ，使得 ＜b，称 为 除以 所得的商，称 为 除以 所得的余数。 当 时， ，此时称 被 整除，或称 整除 ，记 ,否则称 不整除 ，记 | 。 全体整数可分三类：质数、合数、1。 定义2 （最小公倍数）非零整数 的最小公倍数是能被其中每一个 所整除的最小正整数，记作 ． 定义3 （最大公约数）设整数 中至少有一个不等于零，这 个数的最大公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作 ． 定理1 对任意的正整数，有 ． 定义4 如果整数 满足 ，则称 与 是互素的（以前也称为互质）． 定义5 大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称为质数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数． 定理2 素数有无穷多个，2是唯一的偶素数． 2、整除的常用性质： （1）若 则 ； （2）若 EMBED Equation.3 （3）若 ； （4）若 ； （5）若 ； （6）任意 个连续整数的积一定能被 整除。 (7) 为质数，若 则 必能整除 中的某一个.特别地，若 为质数， 3、算术基本定理： 设 是大于1的整数，则 是不同的素数， 的正约数的个数为 个。 4、 常用的公式及定理： （1） 。 （2）对于奇数 有：　 。 [典型例题] 例1、105正的约数共有多少个？约数共有多少个？ 解：1，3，5，7，15，21，35和105都是105正的约数，它们的相反数也是105的约数。所以，105正的约数有8个，约数有16个。 约数公式：如果一个自然数 的质因数分解是 ， ，则 的约数个数是 。 例2、把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每种拆法中的质数相乘，得到的乘积中，那个最小？ 解：共有10种拆法： 其中， 最小。 例3、 一个正整数和它的反序数（ 的反序数是 ）的乘积等于92565，求出此正整数。 解：对正整数92565作质因数分解， ＝ ，这个正整数是165或561。 例4、求 证： 证明：因为 ， 　　　　　 ，其中 ，于是 从而， 。 例5、求最大的正整数 ，使得对每一个正整数 ，都有 解：采取数学归纳法： （1）当 =1时，成立。 （2）假设当 =k时成立，即 ， 则当 时， ； 又由归纳假设， ，只需证 ， 又 知， ， 因此当 时， ，即命题成立。 例6、求所有的整数 ，使得 解：注意到 ， 因为 ，所以只需找到 ， 当 ； 当 ； 当 。 所以，不论 取何值时，都有 。 例 例8、求满足方程 的所有正整数解 ． 解：原方程可变形为 ． 这是关于 的整系数一元二次方程，有整根．故它的判别式为完全平方数，即： 是完全平方数． 由于 ，所以， ，由此解得 ． 于是，可得 ． 例9、设 ，求证： 证明：因为 ； 因为 设 又 即 从而 。 注：递推思想的解题方法本质上同数学归纳法，这里构造 与 两个辅助函数，属构造型的解题思路。 例10、设 是大于5的素数，求证： ． 证明：因为 ，显然， 是两两互质，故只需证明 分别能整除 即可． 因为 ，因 且为素数，显然 ． 为连续两个偶数必有一个能被2整除，有一个能被4整除，所以 ，所以 ． 因为 是大于5的素数，故3不能整除 ，所以， ．从而 ，于是， ． 又因 是大于5的素数，故5不能整除 ，所以 或 ． （1）当 时， ； （2）当 时， ． 故 ． 从而， ，所以， ． 例11、已知正整数 满足 ，且 ，求满足条件的所有可能的正整数 的和． 解：由 可得 ． ，且 ． 因为 是奇数，所以 等价于 ，又因为 ，所以 等价于 ．因此有 ，于是可得 ． 又 ，所以 ．因此，满足条件的所有可能的正整数 的和为 11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． [素养提升] 1、是否存在这样的十位数，其中每个数字恰好出现一次，并且被11整除． 解：每个数字恰好出现一次的十位数，数字和为 ．如果奇数数位上的数字和与偶数数位上的数字和相差11，那么这个十位数就能被11整除．即只要奇数数位（或偶数数位）上的数字和为 ，那么这个十位数就能被11整除． 因此，1294357680满足题意． 2、请确定最小正整数 ，其末位数为6，若将