专题09利用导数研究函数与方程-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-2）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 09 利用导数研究函数与方程 【例题精讲】 一、已知函数的零点个数确定参数 例1．已知是函数的导函数，对任意的实数都有，且，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数，则，因为， 即，所以，因为，则，由， 则，，在上单调递减，在上单调递增， ，且当时，，当时，与有两个交点，所以实数的取值范围是． 例2．已知函数，如果关于的方程有四个不等的实数根，则的取值范围 A． B．， C． D．， 【答案】A 【解析】函数，当时，，则， 故在，上单调递增，当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 作出函数的图象如图所示，令，由图象可知，当时，与有两个交点，当或时，与有1个交点，当时，与有3个交点，当时，与没有交点，因为有四个不等的实数根，则方程有两个不同的实数根，，因为，，所以，所以，且，所以，，设，，则，所以在上单调递减， 则，故，所以． 例3．函数，若关于的方程有且只有4个不同的实根，则实数的取值范围为 A． B． C．， D．， 【答案】B 【解析】当时，由，得，解得或，即或；要使关于的方程有且只有4个不同的实根，则有2个小于等于0的不等根，当时，方程不成立，即0不是方程的根，则当时，有2个小于0的不等根，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又当时，，当时，，当时，，要使有2个小于0的不等根，则． 例4．已知函数（其中，为参数）．函数有且只有2个零点，求实数的取值范围． 【解析】解：若，，则， 则，令，则， 令，，则，在上单调递增， ，（1），且在上单调递增， 存在唯一，，使得， 当时，，即，函数单调递减， 当，时，，即，函数单调递增， ，，，即， ，有且只有2个零点，，即， 下面用零点存在定理证明，当时，函数有且只有2个零点， 先证明在，上有且只有1个零点，过程如下： ，， 又在，上单调递增且连续， 在，上有且只有1个零． 再证明在上有且只有1个零点，过程如下： ，， 令，其中， 令， ， ， 令，， 则， 在上单调递增， （1）， 又，在上单调递减且连续， 在上有且只有1个零点，综上可得． 例5．已知函数，，其中是自然对数的底数．设函数，若函数恰好有2个零点，求实数的取值范围．（取， 【解析】解：， 则，设， 当时，，函数递减，不合题意： 当时，因为恒成立， 所以在 上递增， 因为，．则使得， 当，，递减，当，，，递增： 所以， 则当时，，可得，此时只有唯一零点1； 当时，因为（1），． 则，因为（1）， 所以，， （这里使用不等式，不证明的不扣分） 所以在，有唯一零点， 故当时，有两个零点： 当时，同理可得有两个零点： 所以的取值范围是，，． 二、函数零点个数的判断 例1．已知函数，，．讨论在，上零点的个数． 【解析】解：， 故，设，， ①当时，，，故，而， 故，即恒成立，故的零点个数为1个， ②当时，，故在，上单调递增， 而，故，故在，上单调递增， ，故是唯一零点，此时的零点个数为1个； ③时，，故在，上单调递增， 而，，故存在，，使得， 故当时，单调递减，当时，单调递增， 故当时，取最小值，而，， 又的图像是连续不断的，由零点存在性定理知： 在，上有唯一零点，又也是零点， 故在，上有2个零点， 综上：当时，在，上有1个零点， 当时，在，上有2个零点． 例2．设函数（其中）．求零点的个数． 【解析】解：由题意得，所以（1）， 又，且，所以恒成立，从而函数在上单调递增， 所以当时，；当时，， 则函数在上单调递减；在上单调递增， 因为（1），，函数在，上单调递减且图象连续不断， 所以函数在上恰有1个零点， 因为（1），（2），函数在，上单调递增且图象连续不断，所以函数在上恰有1个零点， 综上所述，函数有2个零点． 例3．已知函数，，．若，讨论函数的零点个数． 【解析】解：时，，， 令，解得：， ，，的变化如下表： 0 递减 极小值 递增 当时，函数的极小值是， ①当即时，对任意，都有恒成立，从而函数无零点， ②当即时，对任意，都有恒成立，（当且仅当时，， 从而函数的零点个数为1， ③当即时，在区间，上，函数的图象是连续不间断的一条曲线， 期中，，函数在区间，递增， 故函数在区间的零点个数为1， 在区间，上，函数的图象是连续不间断的一条曲线， 其中，，记，，， 故在区间，递减，由得（a），即， 故，又函数在，递减， 所以函数在区间上的零点个数为1， 从而函数的零点个数为2， 综上时，函数无零点， 时，函数有1个零点， 时，函数有2个零点． 三、与函数零点有关的证明问题 例1．已知函数．若函数有两个零点，，证明：． 【解析】证明：不妨设， 由（1）得，在上单调递减，