§1.2　导数与函数的单调性-2020-2021学年高二数学下学期期末考试迅速提分复习方案（江苏专用）

§1.2　导数与函数的单调性 一、【知识梳理】 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 思考 1．“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的什么条件？ 提示　若f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件． 2．若函数f(x)在区间(a，b)上存在递增区间，则在区间(a，b)上，f′(x)应满足什么条件？ 提示　若f(x)在(a，b)上存在递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解． 二、【典例剖析】 考点一 ：判断或证明函数的单调性 【典例1】已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； 【典例2】已知函数. （1）当时，讨论的单调性； 【变式探究】 1.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 2.已知函数，。 （Ⅰ）若 ，求的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性。 考点二 ：求函数的单调区间 【典例3】已知，那么单调递增区间__________；单调递减区间__________. 【变式探究】 (2019·广东省中山一中等七校联考)已知函数. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间． 考点三 ：利用函数的单调性研究函数图象 【典例4】函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 【变式探究】 1.已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是（ ） A． B． C． D． 2.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 考点四 ：利用函数的单调性解不等式 【典例5】【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范围是（ ） A．（﹣∞,﹣3） B．（﹣3,0） C．（0,3） D．（3,+∞） 【变式探究】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ） A． B． C． D． 考点五 ：利用函数的单调性比较大小 【典例6】【多选题】已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 考点六 ：利用函数的单调性求参数的范围（值） 【典例7】已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围是________． 【变式探究】 若函数在区间单调递增，则的取值范围是______；若函数在区间内不单调，则的取值范围是______. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ §1.2　导数与函数的单调性 一、【知识梳理】 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 思考 1．“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的什么条件？ 提示　若f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件． 2．若函数f(x)在区间(a，b)上存在递增区间，则在区间(a，b)上，f′(x)应满足什么条件？ 提示　若f(x)在(a，b)上存在递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解． 二、【典例剖析】 考点一 ：判断或证明函数的单调性 【典例1】已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； 【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增. 【解析】 (1)由函数的解析式可得：，则： ， 在上的根为：， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 【典例2】已知函数. （1）当时，讨论的单调性； 【答案】（1）的