08 几种方法破解二项式定理题型-《中学生数理化》高二数学2021年5月刊

中学生数理代三数学经魏率破方法 三、“巧赋值”求解系数和问题 C4+C4=14,选C 例3已知(2x-1)5=a0x5+a1x2+ 点评:同学们在解决一些二项式定理的 a4x+a5,则 相关问题时,常会碰到二项展开式的等式左 右两边所对应的幂的底数不一致的情况,此 分析:(2x-1)°展开式的通项公式为时往往可以借助换元思想来处理,化陌生的 项展开式问题为熟知的二项式定理问题 25·(-1)(r=0,1,…,5),即r为偶数时 借助二项式定理的相关知识来分析与处理即 ar>0;r为奇数时,a,<0。此时日标|a|+ 想使得问题熟悉化、常规化 得以借助常规思维来解决与处理。 a,通过赋值我们可以很快得到答案。 练习3:已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+ 解:把条件中的x赋值为-1,可得 +a2(x-1),则a6 243,由分析可知|a0|+|a1|+…+|a D.448 解析:令t=x-1,则(t+1)(t-1) 点评:这里根据通项公式,明确相应系数 a,+ 的特征,从而进行赋值。解题的关键是 则 (-1)3+C2(-1) a4-a,从而令x=-1求解系数和问题。 五、“巧分组”,思本质 练习2:(1-x)°=a0+a1(x+1)+ 侧5在(x2-x+1)的展开式中含 a2(x+1)2+…+a6(x+1)°,则a0+a2 x3项的系数为 分析: (x-1)+1,故问 C.481 题可以看成求[x(x-1)+1]的二项展开 解析:令x=0,得1=a0+a1+a2+…+a8;式 现含x3的项,可以为7或8,进而可以求解 4-+a6g 解:由分析可知,当r=7时,[x(x-1) 所以a0+a2+a;+4≈1+729365,选B +1]展开式的第8项为C0·x3(x-1)3, 那么要出现含x3的项,要取(x-1)3的常数 四、“巧换元”,变陌生为熟悉 项,此时含x3项的系数为一C。当r=8 例4已知a1(x-1)+a2(x-1)2+时,[x(x-1)+1]1展开式的第9项为C 则 x2(x-1)2,那么要出现含x3的项,要取 (x-1)2的一次项—2x,此时含x3项的系数 1.12 分析:观察二项展开式的等式左右两边 所以含x3项的系数为(一()+(-2 可知含有未知数的幂的底数不一致,从而需 要通过巧妙换元转化为一般情况下的二项展 点评:对于三项式或更多项的展开式中 开式冋题,再通过二项式定理的相关知识来的特定项问题,一般先对三项式进行合理变 分析与解决。 形,比较常见的变形方式就是将多项式先看 解:令 成两个部分的和或积,分类考虑特定项产生 结合题目条件,可得(t+1)=a1t 的所有可能性,再逐一求出每种情形对应的 t2+a3t2+a4t+as。 项,最后合并即可。 依据二项式定理,得a2+a3+a4=C4+ (下转第33页)