06 二项式定理题型与解法例析-《中学生数理化》高二数学2021年5月刊

中学生数理代三数学经魏率破方法 侧〃(2017年山东卷)已知(1+3 解析:(方法1)直接将(a+x)(1+x) 的展开式中含有x2项的系数是54,则n 展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+ 解析:(1+3x)”展开式的通项公式为6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6 1=Cn3x,含x2的项是第3项。 4a)+(1+4a)=32,解得a=3 故T3=C232x (方法2)(1+x)+展开式的通项为T,+ 根据题意知C232=54,即C2=6,n=4。 =Cx,由题意可知,a(C+C3)+C1+C2+ 五、求展开式中的系数和 C4=32,解得a=3。 在涉及求展开式中所有项系数的和或者 侧/6(2019年江苏卷)设(1+x) 奇数项、偶数项系数和的问题时,通常可以根a+a1x+a2x2+…+anx",n≥4,n∈N,并 据题目的结构特征,选择“赋值法”来加以解决。 侧/2(2020年浙江卷)二项展开式 (1)求n的值; (1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x2+ (2)设(1+)”=a+b/3,其中a,b∈ ax3,则a1= 求a2-3b2的值。 解析:由二项式定理知,(1+2x)°展开 解析:(1)(1+x)"=C+Cx+C2x2+ 式的通项公式为T+1=C2x,所以a4 …十Cx",n≥4。 C:2=80。a1=C2=10,a3=C23=80,a5 故 C2=32,故a1+a3+a5=10+80+32=122。 侧/3若(1-2x)2=an+a1x+ …+a201a420(x∈R),则(a0+a1)+ (用数字作答) 因为a a,所以/(n-1)(n-2) 解析:取x=0,得 1;取 xn(n-1)(n-2)(n-3) ,解得 201 故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ (a0+a201)=2013a0+ao+a1+a2+a3 (2)由(1)知,n=5。 +a2=2013a0+1=2014。 (1+3)”=(1+)=C+C/3+ 六、求余数问题 用二项式定理证明整除及求余数问题 a+b/3 般将被除式变为有关除式的二项式的形式 (方法1)因为a,b∈N,所以a=C0+ 来展开,常采用“配凑法”、“消去法”,结合有 3C2+9C=76,b=C+3C+9C5=44,从而 关整除的知识来解决。 可得a2-3b2=762-3×44 例№491除以100的余数是 (方法2)(1-3)=C+C(-/3)+ 解析:91”=(90+1)=C290+C9290 C3(-)2+C3(-3)3+C(-3)4+ +Cm2902+C9290+C2=M×102+92× 90+1=100M+82×100+81,M为整数 C5(-/3)=C-C}/3+C3(/3)2-C3(/3) 故91”除以100的余数是81 +C(/3)-C5(/3) 七、求参数或指数的值 因为a,b∈N,所以(1-3)5=a 侧乃(2015年新课标全国Ⅱ卷)b3 (a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂b/3)=(1+/3)5×(1-/3)=(-2)=-32。 项的系数之和为32,则a (责任编辑徐利杰)