03 随机变量的分布列性质的应用-《中学生数理化》高二数学2021年5月刊

中学生数理化迟数学如结与展 随机变量分布列性质的应度 ■重庆市铁路中学校何成宝 离散型随机变量的分布列是高考的热总数为C3;事件“X=4”包含的基本事件总数 点,要求同学们会求出简单的随机变量的分为C3;事件“X=5”包含的基本事件总数为 布列,并计算出期望和方差。准确写出随机C;事件“X=6”包含的基本事件总数为C 变量的分布列是解决问题的关键,下面对离 散型随机变量的分布列的求法分类说明,希从而有P(X=3)=C20,P(X=4) 望对大家有所帮助 P(X=5) 一、由古典概型构成的分布列 求由古典概型构成的分布列,首先要明 确随机变量所有可能的取值,然后计算取每 值时的概率 随机变量X的分布列,如表1。 袋中装有6个同样大小的黑 求,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3 3 个球,以Ⅹ表示取出球的最大号码,求Ⅹ的 2020102 分布列。 点评:确定离散型随机变量X的分布列 分析:随机取出3个球,最大号码X的的关键是要搞清楚Ⅹ取每一个值时对应的 所有可能取值为3,4,5,6。“X=3”对应事件随机事件,进一步利用排列组合知识求出 “取出的3个球的编号为1,2,3”;“X=4”对取每个值的概率。 应事件“取出的3个球中恰取到4号球及1, 、二项分布的分布列 2,3号球中的2个”;“X=5”对应事件“取出 项分布是一种常见的重要的离散型随 的3个球中恰取到5号球及1,2,3,4号球中机变量的分布列,其概率PG=k)(k=0,1 的2个”;“X=6”对应事件“取出的3个球中2,3,4,5,…,n)就是n次独立重复试验中事 恰取到6号球及1,2,3,4,5号球中的2个”。件发生k次的概率Cp(1-p)” 而要求其概率则要利用等可能事件的概率公 例2某工厂生产电子元件,其产品的 式和排列组合知识来求解,从而获得X的分次品率为5%,现从一批产品中任意地连续 布列 取出2件,写出其中次品数的分布列 解:随机变量ⅹ的可能取值为3,4,5,6 分析:显然=0,1,2,依题意可知每次 从袋中随机地取3个球,包含的基本事抽取是相互独立的。 件总数为C。事件 3”包含的基本事件 解:由题意得,次品数~B(2,5%) 盖中學生数理化 P(=0)=C2(95%)2=0.9025,P( 1)=C2(5%)(95%)=0.095,P(=2) C2(5%)2=0.0025 因此,次品数的分布列,如表2 1326143286 表2 (2)的取值为1,2,3,…,n,…。 当=1时,即只取一次取到合格品,故 2 P|0.90250.0950.0025 P(=1)= 点评:一批产品可以认为数量较大,从 当=2时,即第一次取的是次品,而第二 中任意地连续取出 相当于2次独立重 次取到合格品,故P(=2) 复试验,得到的次品数ξ服从二项分布 1313169 三、由特殊试验构成的分布列 当G=3时,即第一、二次均取的是次品, 除上述两种较常见的分布列外,我们还而第三次取到合格品,故P(=3)=13×13× 会遇到一些特殊的分布列,如超几何分布。 例了一批产品中有10个合格品与313-(1313 个次品,从中一件一件地抽取产品,设各个产 类似地,当=n时,即前n-1次均取到 品被抽取的可能性相同,在下列三种情况下 次品,而第n次取到合格品,故P(8=n)= 分别求出到抽到合格品为止时所需抽取次数3 的分布列: (1)每次取出的产品不放回 所以,的分布列如表4。 表4 (2)每次取出产品后都立即放回,然后再 取出一件产品 (3)每次取出一件产品后总把一件合格P 131692197 品放入此批产品中 解析:(1)的取值为1,2,3,4 (3)的取值为1,2,3,4。 当=1时,即只取一次就取到合格品 当ξ=1时,即只取一次取到合格品,故 故P(会=1) P(a=1) 当=2时,即第一次取到次品,而第 当=2时,即第一次取的是次品,而第 次取到合格品,故P(a=2) 310 二次取到合格品,注意第二次取时,这批产品 1312 中有11个合格品,2个次品,故P(=2)= 当=3时,即第一、二次取的是次品,而 当=3时,即第一、二次取的是次品,而 第三次取到合格品,注意第三次取时,这批产 第三次取到合格品,故P(=3 品中有12个合格品,1个次品,故P(=3) 11143 13131313 当=4时,即前三次取的是次品,而第 当=4时,即前三次取的是次品,而第 四次取到合格品,故P(=4) 3、2、1四次取到合格品,注意第四次取时,这批产品 131211 中有13个合格品,故P(=4)=1×12 所以,随机变量的分布列如表3 中学生理化 知识篇知识结构与拓展 高二数学2021年5月 所以,随机变量的分布列如表5 师傅安装机器时,从这批零件中随机抽取,取 出的是废品则