10 浅谈对数平均数在导数中的简单应用-《中学生数理化》高二数学2021年5月刊

中学生数理代三数学创新根 浅谈对数平均数在导数中的简单应用 ■河南省平顶山市第一中学耿文泽(指导教师:于幸) 在必修五关于不等式的学习中,我们对 变形得,ln 基本不等式有了初步认识,并学习了均值不 等式,即“若a,b∈R,则 构造函数f(x)=lnx-/x 此处为了避免对根式求导,可将函数构 a+b /a2+b ,当且仅当a=b时等号成立”。 造为f(t)=2lnt-t+-(t>1)。 今天,我向大家介绍一位新朋友“对数平 均数”,并分享它在导数中的简单应用。 对数平均数:如果a,b∈R+,且0<b 故f(t)在(1,+∞)上单调递减,2lnt a,那么 即为a和b的对数平均数 如果把对数平均数放到均值不等式中 即得证 我们就可得到如下不等式链 关于不等式链中对数平均数与其余平均 若a,b∈R+,且0<b<a,则0<b< 数的关系可利用不等式的传递性证明,也可 In a-In6 a+b b 利用上面的构造法证明,这里不再赘述 下面和大家分享一下这些不等式在导数 中的一些简单运用 例已知函数f(x)=mx=1-1mx 证明如下 函数f(x)恰有两个零点x1,x2,证明 (1)证 x2>2 a 2(a-b) 变形得,ln> -,即证Inx> 证明由题意知m=lnx1+=1nx2x2° 变形得,lnx1-lnx2 也即 2(x-1) 构造函数f(x)=lnx 由对数平均数不等式“ 则f(x)(x-1)2 b 故f(x)在(1,十∞)上单调递增 f(x)>f(1)=0,得证 (2)证明/ab≤1na-1nb°