07 史上最全的排列组合22种解题策略-《中学生数理化》高二数学2021年5月刊

酸方片中學生数理化 史上最全的排列组合22种解题策略 ■福建省泉州市第七中学彭耿铃 排列组合问题联系生活实际且生动有 二步,排千位,千位上的数字只能从1、2、3、4 趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握。实践这4个数字被个位选掉后剩余的3个数字及 证明,掌握题型和解题方法,识别模型,熟练数字5中任选1个,共有C种选法;第三步 用,是解决排列组合应用题的有效途径。排中间两位,中间两位可以从个位和首位排 本文旨在探究题型规律,揭示解题方法、提供好后剩余的4个数字中任选2个,共有A种 解题策略,希望对同学们的学习有所帮助。 选法。所以符合条件的四位数共有CC1A 策略一特殊元素或特殊位置优先法, 4×4×4×3=192(个)。 所谓“优先法”是指在解决排列组合问题时 点评:例2是典型的限制排列组合题,解 对有限制条件的元素(或位置)要优先考虑 题时,若从元素入手(即元素优先),常要分类 例由0,1,2,3,4,5可以组成多少讨论,分类时要注意堵漏防重;若从位置入手 个没有重复数字五位奇数? (即位置优先),常要分步解答,分步时要注意 解析:由于末位和首位有特殊要求,应该分步完整,各步相连 优先安排数字,以免不合要求的元素占了这 小结:位置优先法和元素优先法是解决 两个位置。先排末位,共有C种方法,然后排列组合问题最常用也是最基本的方法之 排首位,共有C种方法,最后排其他位置,共 若以元素分析为主,需先安排特殊元素 有A种方法,由分步计数原理知有CCA再处理其他元素;若以位置分析为主,需先满 =288(种)方法 足特殊位置的要求,再处理其他位置。若有 侧2在由数字0、1、2、3、4、5所组成 多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的 的没有重复数字的四位数中,不能被5整除 同时还要兼顾其他条件 的数共有个 策略二、相邻元素用捆绑法 解法一(元素优先):数字0、1、2、3、4、5 例38人排成一排,甲、乙必须分别 中含有0,当组成四位数时,0不能放在首位 紧靠站在丙的两旁,有多少种排法? 又所求四位数不能被5整除,因而可以根据 解析:把甲、乙、丙先排好,有A2种排法 是否含有0和5两个元素将所求四位数分成把这3个人“捆绑”在一起看成是一个人,与 四类:第一类,含0不含5的四位数,共有其余5个人排成一排,有A6种排法,所以 CA3=48(个);第二类,含5不含0的四位共有A2A6=1440(种)排法 ,共有CA=72(个);第三类,含0也含5 点评:运用捆绑法解决排列组合问题时 的四位数,共有CC2A2=48(个);第四类,不 定要注意¨捆绑”后内部元素的排序问题 合0也不含5的四位数,共有A=24(个) 小结:要求某几个元素必须排在一起的问 所以,符合条件的四位数共有48+72+48+题,可以用捆绑法来解决,即将需要相邻的元素 24=192(个) 捆绑为一个元素,再与其他元素一起进行排列, 解法二(位置优先):根据所求四位数对同时要注意合并后内部元素也必须排列 首末两个位置的特殊要求可以分步解答:第 策略三、不相邻用插空法 步,排个位,个位上的数字只能从1、2、3、4 侧4一个晚会的节目中有4个舞蹈, 这4个数宇中任选1个,共有C种选法;第2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 酸方片中學生数理化 把红球和蓝球都取出来。以此类推,下列各5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3 式中,其展开式可用来表示从5个无区别的人有CCCC2Cl1=600(种)选法 红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球 小结:在处理复杂的排列组合问题时可 中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都以把一个问题转化成一个简单的问题,通过 不取出的取法数是()。 解决这个简单的问题找到解题方法,从而解 决原来的问题 (1+c)5 策略十八、数字排序问题查字典策略 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+ 侧25(2015年四川卷)用数字0,1 2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中 C.(1+a)°(1+b+b2+b3+b4+b5) 比40000大的偶数共有 (1+c) A.144个B.120个 D.(1+a5)(1+b)5(1+ D.72个 解析:万位填4时,比40000大的偶数 解析:共分三步 有2×4×3×2=48(个);万位填5时,比 第一步,5个无区别的红球中可能取出040000大的偶数有3×4×3×2=72(个) 1个,…,5个,则有(1+a+a2+a3+a1+ 所以共有48+72=120(个)偶数满足题 a3)种不同的取法 意,选B 第二步,5个无区别的蓝球都取出或都 小结:数字排序问题可用查字典法·查字 不取出,则有(1+b)种不同的取法; 典法应从高位向低位查,依次求出其符合要 第三步,5个有区别的黑球看作5 求的个数,根据