09 探究二项式定理创新题型-《中学生数理化》高二数学2021年5月刊

中学生理化 解题篇创新题追根溯源 高二数学2021年5月 解析:由题意知 故所求展开式中x3项的系数为C3+ 27=a+22-1=8+a-1=(9-1)+a-14(-C3)=-30 C9×9-C×98+…+C8×9-C+a-1 2.二项式积的展开式 9×(C9×98-C×9+…+C)+a-2。 形如(a+b)(c+d)”(m∈N,n∈N’) 因为a≥3,所以要使S能被9整除,则的式子称为二项式积,事实上,此类问题是二 a-2=9,=11则n=11。从而( 项式定理展开式与乘法分配律的综合运用。 例4【2020年高考全国I卷理数】 的展开式中系数与二项式系数只有符号差 异,又中间两项的二项式系数最大,中间两项 x+)(x+y)5的展开式中x3y3的系数 为第6项和第7项,且第6项的系数为负,所为() 以第7项的系数最大,选B 三、纵向延伸型 1.三项式的展开式 解析:(x+y)°的展开式的通项公式为 形如(a+b+c)”(n∈N)的式子称为三T+=C5x5y(r∈N·且r≤5) 项式。一般地,解答三项式展开式问题时有 所以(x 的各项与(x+y)的展开 个视角:一是化三项式为二项式;二是二项 式定理的展开式的通项公式的两次运用;三式的通项的乘积可表示为 是运用组合数知识。 和T 侧3(x2+3x+2)的展开式中x的 系数 yCx-"y=Cx"y+2。 解析:(x2+3x+2)5=(x+1)°(x+2)5, 得 (x2+3x+2)5的展开式中含x的项是:(x+ T4=C5x3y3,该项中xy3的系数为10。 1)°展开式中的一次项与(x+2)展开式中 的常数项之积;(x+1)展开式中的常数项 在T+1=C5xy+2中,令r=1,可得 与(x+2)展开式中的一次项之积。 yT2=Cx3y2,该项中x3y3的系数为5。 枚x的系数为 24=240。 所以 的系数为10+5=15,选C 点评:本题是化三项式为二项式,再根据x 点评:此类型与可化三项式为二项式的 的系数的由来,最后结合二项式定理进行求解。题型相类似,可先分别表示两个二项式展开 练习3:(2x2+x-1)的展开式中,x3式的通项公式,然后明确该问的二项式展开 的系数为 式的每一项都与这两个通项公式有关即可。 解析:由题意知,(2x2+x-1) 练习4:【2020年辽宁省高三三模(理 (2x2+x)-1]展开式的通项公式为在(1+x)·(1-3x)的展开式中,含x的 C(2x2+x)(-1) 项的系数是 当r=0或1时,二项式(2x2+x)5的 展开式中无x3项 当r=2时,二项式(2x2+x)5的展开 解析:因为(1+x)°·(1-3x)=(1+6x 式中x3的系数为1; +15x2+20x3+15x++6x5+x6)·(1 当r=3时,二项式(2x2+x)的展开3x),所以含x的项的系数为6-3×1 式中x3的系数为4; 当r=4或5时,二项式(2x2+x)5的 四、外知融合型 展开式中无x3项 该题型是将二项式定理与其他知识有机