（学科网精校）北京市数学（文）卷文档版（有答案）-2013年普通高等学校招生统一考试

绝密★启用并使用完毕 2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（文） 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共40分） 1、 选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1≤x<1｝,则A∩B= （A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝ （C）{0，1} （D）｛-1，,0，1} （2）设a,b,c∈R,且a>b,则 （A）ac>bc （B）< （C）a2>b2 （D）a3>b3 （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 （A）y= (B)y=e-x （C）y=-x2+1 (D)y=lg∣x∣ （4）在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA= ,则sinB= （A） （B） （C） （D）1 （6）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A） （B） （C） （D） （7）双曲线x2- =1的离心率大于 的充分必要条件是 （A）m＞ （B）m≥1 （C）m＞1 （D）m＞2 (8)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点， P到各顶点的距离的不同取值有 （A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6题，每小题5分，共30分。 （9）若抛物线y2=2p 的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为__ ___. (10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积 为__________. (11)若等比数列｛an｝满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=__________;前n项sn=_____. (12)设D为不等式组 表示的平面区域，区域D上的点与点（l，0）之间的距离的最小值为___________. (13)函数f（x）= 的值域为_________. (14)已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域D由所有满足AP = λAB+μAC（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为__________. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题共13分） 已知函数f（ ）=（2cos2 -1）sin2 + cos4 . （1） 求f（ ）的最小正周期及最大值 （2）若 ∈（ ，π）且f（）= ，求 的值 (16)(本小题共13分) 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天。 （Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率 （Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率。 （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17.（本小题共14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证： （Ⅰ）PA⊥底面ABCD; （Ⅱ）BE∥平面PAD （Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD. （18）（本小题共13分） 已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. （Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值。 （Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b的取值范围。 （19）（本小题共14分） 直线y=kx+m(m≠0)与椭圆 相交与A，C两点，O是坐标原点。 （Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长； （Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。 （20）（本小题共13分） 给定数列a1，a2，…，an。对i=1，2，…n-l，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai—Bi （Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值. （Ⅱ）设a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…dn-1是等比数列。 （Ⅲ）设d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明