2.2.1 函数概念 (Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(北师大版)

§2　函　数 2.1　函数概念 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过实例理解函数的概念，能用集合语言描述具体的函数． 2．体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．会求一些简单函数的定义域. 1.通过对函数概念的学习，达成数学抽象、数学建模的核心素养． 2．通过求一些简单函数的定义域提升数学运算的核心素养. 函数的概念 1．函数定义：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A． 2．相关概念：集合A称为函数的定义域，x称为自变量；与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应．(√) (2)若函数的定义域是无限集，则值域也是无限集．(×) (3)定义域与对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(√) (4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．(√) 2．下列表示y关于x的函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x| A　[结合函数的定义可知A正确．] 3．下列函数中，与函数y＝x相等的是(　　) A．y＝(eq \r(x))2 B．y＝eq \r(x2) C．y＝|x| D．y＝eq \r(3,x3) D　[函数y＝x的定义域为R；y＝(eq \r(x))2的定义域为[0，＋∞)；y＝eq \r(x2)＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝eq \r(3,x3)＝x，且定义域为R.] 4．函数y＝eq \r(x－1)的定义域是(　D　) A．(－∞， 1) B． (－∞， 1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 5．已知函数y＝f(x)的定义域为R，则直线x＝m与函数y＝f(x)的图象的交点个数为1． 探究一　对函数概念的理解 [知能解读]　对函数概念的五点说明 (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集． (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性． (3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样． (4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值． (5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可． 判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，对应关系f：对A中元素求面积与B中元素对应． 解　(1)对于A中的元素0，在对应关系f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2)对于A中的元素±1，在对应关系f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在对应关系f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)集合A不是数集，故不是函数． [方法总结]　判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A，B必须是非空数集； (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应； (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一． [训练1]　(多选题)对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(　　) A．y是x的函数 B．对于不同的x值，y的值也不同 C．f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量 D．f(x)一定可以用一个具体式子表示出来 AC　[AC显然正确；B不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时，y＝1；D不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子表示．] 探究二　同一个函数的判断 (多选题)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝eq \r(－2x3)与g(x)＝xeq \r(－2x) B．f(x)＝x与g(x)＝eq \r(x2) C．f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0) D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1 CD　[对A，f(x)＝eq \r(－2x3)＝|x|eq \r(－2x)与g(x)＝xeq \r(－2x)的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．对B，g(x)＝eq \r(x2)＝|x|与f(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．对C，f(x)＝x0与g(x)