1.4.2 一元二次不等式及其解法 (Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(北师大版)

4.2　 一元二次不等式及其解法

 

一、一元二次不等式的概念

1．一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．

2．通常，一般表达式是：ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0，其中a，b，c均为常数，且a≠0．

3．使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．

二、一元二次不等式的求解方法

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．

(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(×)

(2)若a＞0，则一元二次不等式ax2＋1＞0无解．(×)

(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}．(×)

(4)不等式x2－2x＋3＞0的解集为R.(√)

2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)

A．　　 B．

C．∅ D．

D　[变形为(3x＋1)2≤0，∴x＝－.]

3．不等式x(x＋1)≤0的解集为(　　)

A．[－1，＋∞) B．[－1,0)

C．(－∞，－1] D．[－1,0]

D　[解不等式得－1≤x≤0.]

4．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________.

∅　[原不等式变形为3x2－5x＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4＜0的解集为∅.]

5．若一元二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．

(－∞， －1)　[由题意知Error!⇒Error!⇒a＜－1.]

探究一　解不含参数的一元二次不等式

[知能解读]　解一元二次不等式的一般步骤

(1)利用不等式的性质，将不等式化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

(2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c＞0(a＞0)图象的简图；

(3)由图象得出不等式的解集．

解下列一元二次不等式：

(1)x2－3x＋5＞0；(2)－6x2－x＋2≥0；

(3)－4x2≥1－4x；(4)2x2－4x＋7＜0．

解　(1)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20＜0，

∴x2－3x＋5＞0的解集为R．

(2)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，

∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49＞0，∴方程6x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，分别是－，．

∴原不等式的解集为．

(3)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，

∴原不等式的解集是．

(4)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40＜0，

∴不等式2x2－4x＋7＜0的解集为∅．

[方法总结]　解不含参数的一元二次不等式的方法

方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号的方向得到不等式的解集．

方法二：若不等式对应的一元二次方程能够转化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．

方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．

[训练1]　解下列一元二次不等式：

(1)－x2＋2x－＞0；

(2)－x2＋3x－5＞0；

(3)4x2－18x＋≤0．

解　(1)不等式两边都乘以－3，得3x2－6x＋2＜0，∵3＞0，

Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x2－6x＋2＝0的根是x1＝1－，x2＝1＋，∴原不等式的解集是．

(2)不等式可化为x2－6x＋10＜0，

Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0，

∴原不等式的解集为∅．

(3)不等式可化为16x2－72x＋81≤0，

即(4x－9)2≤0，