1.3.1 不等式的性质 (Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(北师大版)

§3　不等式 3.1　不等式的性质 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解等式性质和不等式性质． 2．掌握等式性质和不等式性质的简单应用. 　　通过不等式性质的应用，进一步增强逻辑推理的核心素养. 一、关于实数a，b大小基本事实 如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b. 反过来也成立. 即a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b． 二、不等式的性质 性质1：如果a＞b，且b＞c，那么a＞c． 性质2：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c． 性质3：(1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc； (2)如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc． 性质4：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d． 性质5：(1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； 如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd； 特殊地，当a＞b＞0时，an＞bn，其中n∈N＋，n≥2． 性质6：当a＞b＞0时，那么eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)，其中n∈N＋，n≥2． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若a＞b，则ac＞bc一定成立．(×) (2)a＞b⇔a＋c＞b＋c.(√) (3)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(×) (4)a＞b⇔a2＞b2.(×) 2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T＜40　　　　　 B．T ＞40 C．T≤40 D．T ≥40 C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.] 3．(教材P26练习6改编)已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是(　B　) A．a－c＜b－d B．ac＞bd C．eq \f(a,d)＜eq \f(b,c) D．ad＞bc 4．已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则(　D　) A．ad＞bc B．ac＞bc C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 5．若a＞b＞0，n∈N＋，n≥2，则eq \f(1,an)＜eq \f(1,bn).(填“＞”“＜”或“＝”) 探究一　比较大小 [知能解读]　两个实数(或代数式)的大小 比较两个实数(或代数式)的大小，通常用作差法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提. 已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解　(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0， 又∵x＞1，∴(x－1)(x2－x＋1)＞0， 即x3－1＞2x2－2x． [变式1]　若本例中已知条件由“x＞1”改为“x∈R”，又该如何作答？ 解　(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0， ∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0， 即x3－1＞2x2－2x； 当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即x3－1＝2x2－2x； 当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即x3－1＜2x2－2x． [变式2]　若本例中将条件改为“已知n＞0”，试比较eq \f(1,\r(n＋1)－\r(n))与2eq \r(n)的大小； 解　∵eq \f(1,\r(n＋1)－\r(n))＝eq \r(n＋1)＋eq \r(n)， ∴eq \f(1,\r(n＋1)－\r(n))－2eq \r(n)＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)， ∵n＞0，∴eq \r(n＋1)＞eq \r(n)，即eq \f(1,\r(n＋1)－\r(n)) ＞2eq \r(n)． [变式3]　若本例中将条件改为“已知a＞0，b＞0”，试比较eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a)) 与 eq \r(a)＋eq \r(b)的大小． 解　方法一　eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))－(eq \r(a)＋eq \r(b)) ＝eq \f(a－b,\r(b))＋eq \f(b－a,\r(a))＝(a－b)·eq \f(\r(a)－\r(b),\r(ab)) ＝eq \f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))． ∵a＞0，b＞0，∴eq \r(a)