1.3.2 第2课时 基本不等式的应用 (Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(北师大版)

第二课时　基本不等式的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．能用基本不等式解决简单的最大值最小值问题． 2．能够利用基本不等式解决生活中的实际应用题. 　　通过基本不等式的应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 应用基本不等式求最值 已知x，y均为正数，则 (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时， xy取得最大值eq \f(s2,4)． (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时， x＋y取得最小值2eq \r(p)． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若a≠0，则a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2.(×) (2)若a＞0，b＞0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.(√) (3)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值．(×) 2．(教材P30练习2改编)用铁丝围成一个面积为16 cm2的矩形，最少需要铁丝(　B　) A．8 cm　　　　　　　 B．16 cm C．32 cm D．64 cm 3．已知x＞1，则函数f(x)＝x＋eq \f(2,x－1)的最小值为(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．2eq \r(2)－1 D．2eq \r(2)＋1 D　[∵x＞1，∴x－1＞0，x＋eq \f(2,x－1)＝x－1＋eq \f(2,x－1)＋1≥2eq \r(x－1·\f(2,x－1))＋1＝2eq \r(2)＋1，当且仅当x－1＝eq \f(2,x－1)，即x＝eq \r(2)＋1时，等号成立．] 4．已知xy＞0，且x＋y＝10，则xy的最大值是25． 探究一　利用基本不等式求最值 [知能解读]　应用基本不等式可以求某些函数或代数式的最值，但要注意以下三点 (1)a，b一定为正数； (2)a＋b与ab有一个为定值，才能求另一个的最值； (3)能取等号． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”，且三个条件缺一不可． (1)若x＞0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值； (2)设0＜x＜eq \f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x＞2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值； (4)已知x＞0，y＞0，且 eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值． 解　(1)当x＞0时，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x2＝4，x＝2时，等号成立． ∴函数y＝x＋eq \f(4,x)(x＞0)在x＝2处取得最小值4． (2)∵0＜x＜eq \f(3,2)，∴3－2x＞0． ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq \f(9,2)， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立． ∵eq \f(3,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，∴函数y＝4x(3－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))的最大值为eq \f(9,2)． (3)∵x＞2，∴x－2＞0.∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2 eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立． ∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6． (4)方法一　∵x＞0，y＞0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10≥2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝6＋10＝16， 当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12时，上式等号成立．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16． 方法二　由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)． 由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1可知x＞1，y＞9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2eq \r(x－1y－9)＋10＝16， 当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式等号成立． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16． [方法总结]　 (1)应用基本不