1.3.2 第1课时 基本不等式 (Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(北师大版)

3.2　基本不等式 第一课时　基本不等式 课程内容标准 学科素养凝练 1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小． 3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 1.通过基本不等式的推导，增强逻辑推理的核心素养． 2．通过基本不等式的简单应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 基本不等式 1．重要不等式：对任意x，y∈R，都有eq \f(x2＋y2,2)≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立． 2．基本不等式 (1)设a≥0，b≥0，则有eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立. 这个不等式称为基本不等式． (2)其中eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值，eq \r(ab)称为a，b的几何平均值. (3)基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)均成立．(×) (2)eq \f(1＋2,2)≥ eq \r(2).(√) (3)若a＞0，b＞0，则ab≤eq \f(a＋b,2)恒成立．(×) 2．下列不等式正确的是(　　) A．a＋eq \f(1,a)≥2 B．(－a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))≤－2 C．a2＋eq \f(1,a2)≥2 D．(－a)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))2≤－2 C　[∵a2＞0，∴a2＋eq \f(1,a2)≥2成立．] 3．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　A　) A．a2＋b2≥2|ab|　　　 B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab| 4．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－b＜0 B．0＜eq \f(a,b)＜1 C．eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2) D．ab＞a＋b C　[a＞b＞0，由基本不等式知eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)一定成立．] 探究一　对基本不等式的理解 [知能解读]　　在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”. 一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解． (多选题)下列式子中正确的是(　　) A．a2＋1＞2a　　　 B．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2 C．eq \f(a＋b,\r(ab))≥2 D．x2＋eq \f(1,x2＋1)≥1 BD　[对于A，∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，A不正确．对于B，当x＞0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x＋eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时等号成立)；当x＜0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－x－eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝－1时等号成立)．∴B正确．对于C，当a＝b＝－1时，eq \f(a＋b,\r(ab))＝－2＜2，∴C不正确．对于D，x2＋eq \f(1,x2＋1)＝x2＋1＋eq \f(1,x2＋1)－1≥1(当且仅当x＝0时等号成立)，∴D正确．] [方法总结]　对于基本不等式背景下的不等式恒成立问题，要判断不等式是否成立，关键是把握运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件． [训练]　若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________.(填序号) ①ab≤1；②eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)；③a2＋b2≥2． ①③　[对于①，∵ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1，∴①成立． 对于②，∵(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝2＋2eq \r(ab)＞2， ∴eq \r(a)＋eq \r(b)＞eq \r(2).∴②不成立． 对于③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab，由①知ab≤1， ∴2ab≤2.∴－2ab≥－2，即4－2ab≥2.∴③成立．] 探究二　利用基本不等式证明不等式 [知能解读]　 1．两个不等式(重要不等式、基本不等式)都具有放缩的功能，因此利用不等式可以将数式放大或缩小，即可用来判断大小关系． 2．利用基本不等式证明不等式 (1)利用基本不等式证明不等式时