1.1.2 集合的基本关系 (Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(北师大版)

1.2　集合的基本关系 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解集合之间的包含与相等关系． 2．能识别给定集合的子集、真子集． 3．在具体情境中了解空集的含义并会应用. 　　通过对集合间的基本关系的学习，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 子集、集合相等、真子集的概念 1．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：平面上封闭曲线的内部表示集合． 2．子集、集合相等、真子集的概念 3．子集的两个性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A． (2)空集是任何集合的子集. 也就是说，对任意一个集合A，都有∅⊆A． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)任何一个集合都有子集．(√) (2)若A＝B，则A⊆B或B⊆A．(√) (3)空集是任何集合的真子集．(×) 2．(多选题)下列关系中正确的是(　　) A．1∈{0,1,2}　　　　　 B．{1}∈{0,1,2} C．{0,1,2}⊆{0,1,2} D．{0,1,2}＝{2,0,1} ACD　[选项B应该改为{1}⊆{0,1,2}才正确．] 3．(教材P7练习1(2)改编)设A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，则下列关系中正确的是(　A　) A．E⊆D⊆C⊆A B．D⊆E⊆C⊆A C．D⊆B⊆A D．E⊆D⊆C⊆B⊆A 4．设a∈R，若集合{2, 9}＝{1－a, 9}，则a＝________． －1　[因为1－a＝2，所以a＝－1.] 5．集合A＝{0,1,2}的真子集个数是________． 7　[集合A＝{0,1,2}的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}，共7个．] 探究一　集合间的包含关系 [知能解读]　 1．集合间的关系有包含关系和相等关系两种，其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含()等，使用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的，但A⊆B与B⊆A是不同的． 2．不能把“A⊆B”“AB”简单地理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B． 判断下列每组中两个集合的关系： (1)A＝{x|－3≤x＜5}，B＝{x|－1＜x＜2}； (2)A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}； (3)A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝k＋\f(1,2)))，k∈Z))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2k＋\f(1,2)))，k∈Z))； (4)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}． 解　(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA． (2)∵A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R， ∴AB． (3)在集合A中，x＝k＋eq \f(1,2)＝eq \f(2k＋1,2)，k∈Z． ∵当k∈Z时，2k＋1是奇数，∴集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数． 在集合B中，x＝2k＋eq \f(1,2)＝eq \f(4k＋1,2)，k∈Z． ∵当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数，∴BA． (4)∵n∈Z，∴n＋1∈Z.∴B表示偶数集． ∵A也表示偶数集，∴A＝B． [方法总结]　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． [提醒]　若A⊆B和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系． [训练1]　判断下列每组中的两个集合的关系． (1)A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜1}； (2)A＝{2n＋1|n∈Z}，B＝{4k±1|k∈Z}． 解　(1)将集合A与集合B在数轴上表示出来，如图所示，所以有BA． (2)当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1；当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1． 所以A＝B． 探究二　有限集合的子集问题 [知能解读]　有限集合的子集、真子集、非空真子集的个数 有限集合A＝{a1，a2，…，an}的子集有2n个；真子集有(2n－1)个；非空子集有(2n－1)个；非空真子集有(2n－2)个． 已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}． (1)写出集合M的子集、真子集； (2)求集合N的子集个数、非空真子集个数． 解