1.2 集合的基本关系（题型专练）数学北师大版2019必修第一册

1.2集合的基本关系 题型一：空集及其性质 1．下列四个集合中，是空集的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出. 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，方程无解，. 选:D. 2．下面四个命题中正确命题的个数是. ①； ②任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ③空集没有子集； ④空集是任何一个集合的子集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】试题分析：①是不含有任何元素的集合，含有元素０，故错误； ②含有个元素的集合共有个子集，而，故错误； ③空集是它本身的子集，故错误； ④空集是任何一个集合的子集，故B正确． 3．（多选）下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合空集的定义及性质逐项判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，故，A错误； 因为空集为任何集合的子集，故，B正确； 因为方程，所以方程的解集为， 所以，C正确； 因为空集不含任何元素，是1个元素，故D错误； 故选：BC. 4．若集合为空集，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明不等式无实解，分类讨论和两种情况． 【详解】由题意不等式无实解， 时，不等式为，不成立，无实解． 时，，解得， 综上，． 故选：D. 题型二：子集、真子集的表示 1．已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真子集的定义一一判断即可. 【详解】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集， 对B，由真子集定义知，是集合A的真子集， C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误， 故选：B. 2．已知集合，集合⫋，则集合可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集定义直接判断即可. 【详解】⫋，，，，， 可以是、和. 故选：ABC. 3．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 题型三：子集、真子集个数 1．集合的子集的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举法表示集合，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可． 【详解】由题设，则集合的子集个数为． 故选：D． 2．已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A．7 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数. 【详解】因为，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 3．集合的真子集的个数为（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由集合所包含元素个数与集合真子集个数之间的关系即可得解. 【详解】含有个元素的集合的真子集个数为，即所求为. 故选：C. 4．若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 题型四:有限集合与集合的关系 1．若，则以下正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可 【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B 2．若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】， 是以空集为元素的集合，不是集合的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合元素之间的关系，集合与集合的关系一一判断即可. 【详解】①错误，中包括0； ②错误，中没有任何元素； ③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号； 由③可知，④正确； ⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素； ⑥正确，有理数中包括整数. 故选：B 题型五：无限集合与集合之间的关系 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用集合与集合的包含关系分析即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 2．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，与集合对比，结合子集的定义即可得答案． 【详解】集合,，，,， ． 故选：B． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论集合中的和两种情况，即可求得和之间的关系. 【详解】， ①当集合中的，时， ，即，此时； ②当集合中的，时， ， 即，此时. 综上所述，. 故选：A. 4．集合，，的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 题型六：子集，真子集关系个数 1．满足的集合的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用子集的定义列举出符合题意的集合，求解即可. 【详解】因为，所以，， ，，共个，故B正确. 故选：B 2．已知集合，则满足⫋的集合的个数为（ ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】B 【分析】确定集合的元素，根据A⫋，可判断集合等价于集合的非空子集，由此可得答案. 【详解】由题意得， 又A⫋，所以，所以集合等价于集合的非空子集， 所以集合的个数为， 故选：B. 3．已知集合满足⫋，则符合条件的集合有____________个. 【答案】7 【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合真子集的个数即可得解. 【详解】因为⫋， 所以中含有元素， 故符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数， 故有个， 故答案为：7 题型七:有限集合关系求参 1．若集合，，且，则（ ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据子集的定义判断即可. 【详解】因为集合，，且， 所以当时，，此时，符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意， 故选：A. 2．设集合，，若，则（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【分析】由求解并验证即可； 【详解】由题意可得：，解得：或， 当时，，，不符合舍去， 当时，，，符合， 故， 故选：D 3．已知集合，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 题型一：有限集合关系（空集陷阱） 1．已知集合，若，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集和非空集两种情况即可求解. 【详解】由可得，若时，则， 若时，则由可得或，故或，则或， 故的取值集合为， 故选:D 2．（多选）设集合，，若，则实数a的值可以是（ ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】先得到，再根据，分，，讨论即可. 【详解】由题得，，则 当时，有，，故C正确； 当时，有，，故B正确； 当时，，故A正确； 故选：ABC. 3．设，若，求实数的值． 【答案】或或. 【详解】试题分析：先求得.由于，所以先从空集考虑，当时，，此时.为非空集合时，由于一元一次方程只有一个根，所以分成和两种情况讨论的取值. 试题解析： 由题意得 ①当时，，此时， ②当时，，此时，即 ③当时，，此时，即 综上述的值分别为0或或 题型二:无限集合的关系求参 1．已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的子集关系求解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：B 2．设集合，，若，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数轴分析即可. 【详解】 由数轴可得，若，则. 故选：B. 3．（多选）设集合，若，则a的可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由求出a的范围，确定a的可能取值. 【详解】因为，如图： 所以，所以，故a的可能取值为，. 故选：CD. 4．已知，，若，则的取值范围为________________. 【答案】 【分析】根据包含关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于，所以，所以的取值范围是. 故答案为： 题型三:无限集合的关系求参（空集陷阱） 1．已知集合或，，若，则实数的取值范围__________________． 【答案】或 【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示， 或 要使，只需或，解得或． 所以实数的取值范围或. 故答案为：或 2．已知集合，，若，则实数的取值范围为_________________. 【答案】 【分析】根据，分和，两种情况讨论求解. 【详解】因为集合，，且， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上：， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 3．已知集合，若，则实数的取值范围______________． 【答案】 【分析】根据题意，，分类讨论即可得到结果. 【详解】因为，所以， 当时，即，解得，且满足； 当时，，解得 综上可得的取值范围为 故答案为: 4．已知集合，，且，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】时，要分类讨论，分和讨论． 【详解】∵， ∴当时，，即， 当时，，解得， 综上所述，的取值范围是． 1．已知全集为实数集，集合，. (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可. （2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围. 【详解】（1）解：时，，由图知，， 因为，所以， 所以. （2）当时，，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为，所以，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围是. 2．已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或. 【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案． 【详解】由，则. ， 为方程的解集. ①若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即， 综上所述，实数的取值范围为或 3．已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2)或 【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值； （2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可. 【详解】（1）易知集合，由得：或，解得：. （2）（1）当时满足； （2）当时 ①当即时，满足，. ②当即时，，不满足. ③当即时，满足，只能，无解. 综上所述：或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合的基本关系 题型一：空集及其性质 1．下列四个集合中，是空集的是（ ） A． B． C． D． 2．下面四个命题中正确命题的个数是. ①； ②任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ③空集没有子集； ④空集是任何一个集合的子集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（多选）下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若集合为空集，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二：子集、真子集的表示 1．已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合⫋，则集合可以是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 题型三：子集、真子集个数 1．集合的子集的个数为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A．7 B．8 C．16 D．32 3．集合的真子集的个数为（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 4．若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型四:有限集合与集合的关系 1．若，则以下正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：无限集合与集合之间的关系 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．集合，，的关系是（ ） A． B． C． D． 题型六：子集，真子集关系个数 1．满足的集合的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．已知集合，则满足⫋的集合的个数为（ ） A．8 B．7 C．4 D．3 3．已知集合满足⫋，则符合条件的集合有____________个. 题型七:有限集合关系求参 1．若集合，，且，则（ ） A．0 B．1 C． D．3 2．设集合，，若，则（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 3．已知集合，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型一：有限集合关系（空集陷阱） 1．已知集合，若，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）设集合，，若，则实数a的值可以是（ ） A．0 B． C． D．2 3．设，若，求实数的值． 题型二:无限集合的关系求参 1．已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．设集合，，若，则的范围是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）设集合，若，则a的可能取值为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，若，则的取值范围为________________. 题型三:无限集合的关系求参（空集陷阱） 1．已知集合或，，若，则实数的取值范围__________________． 2．已知集合，，若，则实数的取值范围为_________________. 3．已知集合，若，则实数的取值范围______________． 4．已知集合，，且，求实数的取值范围. 1．已知全集为实数集，集合，. (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 2．已知集合，.若，求实数的取值范围. 3．已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$