专题06 概率及分布列及数学期望（知识点串讲）- 2020-2021学年高二下学期数学期末考点大串讲（苏教版）

专题06 概率及分布列及数学期望（知识点串讲） 知识整合 离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质： ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 例 1 设随机变量X的概率分布为P(X＝)＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求a； (2)求P(X≥)； (3)求P(<X≤)． 【解析】 ：(1)由概率分布的性质，得P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝． (2)P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝． (3)P(<X≤)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＝＋＋＝＝． 例2、袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． 【解析】 ：从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下： X＝ 则X显然服从两点分布，且P(X＝1)＝＝， ∴P(X＝0)＝1－＝， ∴X的分布列为 X 0 1 P 【跟踪练习】 1、设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q的值为(　　) A．1　　　　　　　　　　B.± C.－ D.＋ 【答案】C 【解析】 由分布列的性质知 解得q＝－. 2、已知随机变量X的分布列为 X 0 1 P p 1－p 若D(X)＝，则p的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 　由题可知随机变量X的期望E(X)＝1－p，所以方差D(X)＝p×2＋×2＝，解得p＝.故选A. 3、设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X－1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X2的分布列． 【解析】 ：(1)由分布列的性质知， 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 从而Y＝2X＋1的分布列为 Y 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)列表为 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1， P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3. 故η＝|X－1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 (3)首先列表为 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 从而ξ＝X2的分布列为 ξ 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 【解题技巧】 (1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． （3）两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决． 知识整合 超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．即 X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，