专题04 复数（知识点串讲） - 2020-2021学年高一下学期数学期末考点大串讲（人教A版2019）

专题04复数 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 【基础知识点一】复数的相关概念 （1）复数的概念 形如的数叫做复数，复数通常用字母来表示，即 ． 其中叫做它的实部，叫做它的虚部． 全体复数构成的集合叫做复数集，用字母表示． （2）复数的分类 ①复数，当时，是实数． ②复数，当时，叫虚数． ③复数，当，时，叫纯虚数． ④复数，，时，叫非纯虚数． 综上，有： 复数 【基础知识点二】复数的几何意义 根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定．因为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应． 如图所示，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来确定复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系． 如图，设复平面内的点表示复数，连接，则复数可以用点或向量表示． 温馨提示 （1）复数的对应点的坐标为，而不是． （2）复数的对应向量是以原点为起点的，否则就谈不上一一对应． （3）常把复数说成点或向量，并且规定：相等的向量表示同一个复数． 【基础知识点三】复数的四则运算 1、加法的定义 设，是任意两个复数，规定复数的加法按照以下法则进行： ． 组织剖析 ①复数代数形式的加法运算法则是一种规定，规定以后就按此依据进行运算． ②复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，很明显，两个复数的和仍然是一个复数．对于复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形． ③在这个规定中，当，时，与实数的加法法则一致． 2、减法法则 我们规定两个复数的减法法则如下： ， 即． 可见，两个复数的差也是复数． 总之，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）． 3、复数的乘法法则 设，是任意两个复数，那么它们的积． 4、复数的除法 （1）复数的倒数 已知，如果存在一个复数，使，则叫做的倒数，记作． （2）复数除法的运算法则 ． 【必知必会题型深度讲解】 【必知必会题型一】复数的有关概念 【解题方法】 考查角度 （1）复数的分类；（2）共轭复数；（3）复数相等 常用解法 紧扣定义解决复数概念、共轭复数、复数相等问题 （1）求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi（a，b∈R），则该复数的实部为a，虚部为b. （2）求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数复数z1=a+bi与z2=c+di共轭a=c，b=-d（a，b，c，d∈R）. （3）复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解.a+bi=c+dia=c且b=d（a，b，c，d∈R）. 【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年下学期期末】已知复数（，是虚数单位）. （Ⅰ）若是纯虚数，求实数的值； （Ⅱ）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 解：复数 （Ⅰ）因为是纯虚数，所以且，故； （Ⅱ）因为是的共轭复数，所以， ，在复平面上对应的点为，在第二象限，且，. 1．【辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等2018-2019学年下学期期末】若复数为纯虚数，则实数的值为________． 【答案】1 因为复数为纯虚数， 所以解得. 故答案为：1. 2．【内蒙古包头市2020-2021学年上学期期末】已知在复平面对应的点在第二象限，则实数的范围是 ______． 【答案】 由题可得在复平面对应的点为， 即在第二象限， 则，解得. 故答案为：. 3．【海南省万宁市第三中学2018-2019学年下学期期末】已知，且复数是纯虚数，则________. 【答案】 解：， 又该复数为纯虚数 故，， 故答案为： 4．【陕西省渭南市富平县2019-2020学年下学期期末】已知复数（是虚数单位），. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） （1）， 因为是纯虚数，所以 ，解得， （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，所以 解得： ，即 【必知必会题型二】复数的几何意义 【解题方法】 考查角度 （1）复数与复平面上点的对应关系； （2）复数与向量的对应关系； （3）复数的模及复数的几何意义 常用解法 与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式. 第二步，把复数问题转化为复平面内的点之问的关系. 【上海市奉城高级中学2017-2018学年上学期期末】已知，则的取值范围是_____________； 【答案】