专题3.5 简单几何体【易错题型专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题3.5 简单几何体【易错题型专项训练】 一、单选题 1．（2020·上海华师大二附中高二期末）一矩形的一边在 轴上，另两个顶点在函数 ( )的图像上，如图，则此矩形绕 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出 的范围，再设出点 的坐标，根据 两点的纵坐标相等得到 ，再求出高 ，根据圆柱体的体积公式得到关于 的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值． 【详解】解： 当且仅当 时取等号， ， 矩形绕 轴旋转得到的旋转体一个圆柱， 设 点的坐标为 ， ， 点的坐标为 ， ， 则圆柱的底面圆的半径为 ，高为 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，当且仅当 时取等号， 故此矩形绕 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积计算，基本不等式的应用，本题求出 是关键，属于中档题． 2．（2019·上海华师大二附中高二期末）如图，梯形 中， ∥ ， ， ， ，将△ 沿对角线 折起，设折起后点 的位置为 ，使二面角 为直二面角，给出下面四个命题：① ；②三棱锥 的体积为 ；③ 平面 ；④平面 平面 ；其中正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取BD中点O，根据面面垂直性质定理得 平面 ，再根据线面垂直判定与性质定理、面面垂直判定定理证得 平面 以及平面 平面 ；利用锥体体积公式求三棱锥 的体积，最后根据反证法说明 不成立. 【详解】因为 ， ，所以 为等腰直角三角形， 因为 ∥ ， ， 所以 ,从而 为等腰直角三角形， 取BD中点O，连接 ，如图， 因为二面角 为直二面角，所以平面 平面 ， 因为 为等腰直角三角形，所以 平面 平面 , 平面 ,因此 平面 ，所以三棱锥 的体积为 ,②正确； 因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ， , 平面 ，所以 平面 ；即③正确; 因为 平面 ， 平面 ；所以 EMBED Equation.DSMT4 ；由已知条件得 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 平面 ,因此 平面 ,因为 平面 ,所以平面 平面 ；即④正确； 如果 ，而由 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 , 平面 ，所以 平面 ；因为 平面 ；即 ,与 矛盾,所以①不正确; 故选：C 【点睛】本题考查面面垂直性质与判定定理、线面垂直判定与性质定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 3．（2019·上海市七宝中学高二期末）如图， 分别为棱长为 的正方体的棱 的中点，点 分别为面对角线 和棱 上的动点，则下列关于四面体 的体积正确的是 A．该四面体体积有最大值，也有最小值 B．该四面体体积为定值 C．该四面体体积只有最小值 D．该四面体体积只有最大值 【答案】D 【分析】易证 ，从而可推出 面积为定值，则只需研究点 到平面 的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 分别为棱长为 的正方体的棱 的中点，所以 ，又 ，故点 到 的距离为定值，则 面积为定值，当点 与点 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点 ，当点 与点 重合时， 有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值 故选D 【点睛】本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力，属于中档题 4．（2019·上海曹杨二中高二期末）如图,在棱长为1的正方体 中,点P在截面 上,则线段AP的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得, 平面 ,可得P为 与截面 的垂足时线段 最小,然后利用等体积法求解即可. 【详解】如图所示: 连接 交截面 于 , 由 底面 , 可得, , 由 , 可得, 面 , 则 . 同理可得, , 面 , 此时线段 最小. 由棱长为1, 可得等边三角形 的边长为 , . 由 ,可得, ， 可得 . 故选:C 【点睛】本题考查点、线、面间距离的计算和线面垂直的判定;利用等体积法间接地求出AP的距离是求解本题的关键;属于中档题; 二、填空题 5．（2020·上海华师大二附中高二期末）若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积______． 【答案】 【分析】由题意，圆锥的底面周长是 ，求出圆锥的底面半径是 ，再由圆锥的母线长为 ，能求出圆锥的表面积． 【详解】解：由题意可得，圆锥的底面周长是 ， 设圆锥的底面半径是 ，则 ， 解得 ， 圆锥的母线长为 ， 圆锥的表面积是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查圆锥的表