专题3.4 空间直线与平面【易错题型专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题3.4 空间直线与平面【易错题型专项训练】 一、单选题 1．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）如图，在下列四个正方体中， 、 为正方体的两个顶点， 、 、 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 不平行与平面 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A、B、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，如下图所示，连接 ， 在正方体中， 且 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ， 、 分别为 、 的中点，则 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； 对于B选项，连接 ，如下图所示： 在正方体中， 且 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ， 、 分别为 、 的中点，则 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； 对于C选项，连接 ，如下图所示： 在正方体中， 且 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ， 、 分别为 、 的中点，则 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； 对于D选项，如下图所示，连接 交 于点 ，连接 ，连接 交 于点 ， 若 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，则 ， 则 ， 由于四边形 为正方形，对角线交于点 ，则 为 的中点， 、 分别为 、 的中点，则 ，且 ， 则 ， ， 则 ，又 ，则 ，所以， 与平面 不平行； 故选：D. 【点睛】判断或证明线面平行的常用方法： （1）利用线面平行的定义，一般用反证法； （2）利用线面平行的判定定理（ ， ， ），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述； （3）利用面面平行的性质定理（ ， ）. 2．（2020·上海市建平中学高二期末）在正方体 中，点 在侧面 及其边界上运动，并且总是保持 ，则动点 的轨迹是（ ） A．线段 B．线段 C．线段 D．平面 【答案】C 【分析】如图， 平面 ，又点 在侧面 及其边界上运动，故点 的轨迹为面 与面 的交线 【详解】解：如图，连接 ，在正方体 中，有 平面 ， 又点 在侧面 及其边界上运动， 所以点 的轨迹为面 与面 的交线 ， 故选：C 【点睛】此题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征，考查空间想象能力，属于中档题 3．（2020·上海高二期末）如图，正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 ､ ､ 的平面截该正方体所得的截面记为 ，给出下列三个结论： ① 当 时， 为四边形； ② 当 时， 为等腰梯形； ③ 当 时， 的面积为 ； 以上结论正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意作出满足条件的图形，由线线，线面，面面关系结合正方体的结构特征找出截面再论证得到结论. 【详解】当 时，即Q为CC1中点时，如图所示： 因为平面 平面 ，所以 ，又 ， 所以截面APQD1为等腰梯形，故②正确； 由上图当点Q向C移动时，满足 ，只需在DD1上取点M满足 ，如图所示： 故可得截面APQM为四边形，故①正确； 当 时，Q与C1重合，如图所示： 取 的中点F，连接AF， 因为平面 平面 ，所以 ，且 ，又 ，所以截面APC1F为菱形，所以其面积 ，故③正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的真假判断以及正方体的截面问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题. 4．（2019·上海市延安中学高二期末）在棱长为 的正方体 中，如果 、 分别为 和 的中点，那么直线 与 所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，取 的中点 ，连接 、 ，证明四边形 为平行四边形，计算出 的三边边长，然后利用余弦定理计算出 ，即可得出异面直线 与 所成角的大小. 【详解】 如下图所示： 取 的中点 ，连接 、 ， 、 分别为 、 的中点，则 ，且 ， 在正方体 中， ， 为 的中点， 且 ，则 ， 所以，四边形 为平行四边形， ， 则异面直线 与 所成的角为 或其补角. 在 中， ， ， . 由余弦定理得 . 因此，异面直线 与 所成角的大小为 . 故选B. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用定义法或空间向量法计算，考查计算能力，属于中等题. 5．（2019·上海曹杨二中高二期末）设 为空间中的四个不同点，则“ 中有三点在同一条直线上”是“ 在同一个平面上”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】由公理2的推论 即可得到答案. 【详解】由公理2的推论: 过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面, 可得 在同一平面, 故充分条件成立; 由公理2的推论： 过两条平行直线,有且只有一个平面, 可得, 当 EMBED Equation.DSMT