专题3.1 坐标平面上的直线【易错题型专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题3.1 坐标平面上的直线【易错题型专项训练】 一、单选题 1．（2020·上海市杨浦高级中学高二期中）已知 、 ， 、 、 、 ，直线 ， ，则“ ”是“直线 与 垂直”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】由法向量垂直得直线垂直，从而得到判断． 【详解】直线 的一个法向量为 ， 的一个法向量为 ， ． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线垂直的充要条件．判断两直线垂直的方法： （1）从斜率角度，需分类：一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0；斜率都在在时，斜率乘积为 ； （2）方向向量垂直； （3）法向量垂直． 二、填空题 2．（2020·上海市控江中学高二期末）在平面直角坐标系中，已知点 、 、 的坐标分别为 、 、 .该平面上的动点 满足 .已知动点 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）. 【答案】 【分析】推导出 ，则 是等腰三角形， 的中点坐标为 ， 的对称轴方程为 ，由此可得出该图形的一条对称轴方程. 【详解】 点 、 、 的坐标分别为 、 、 ， ， ，则 ， 是等腰三角形， 线段 的中点坐标为 ， 的对称轴方程为 . 所在平面上的动点 满足 ，且动点 的轨迹为轴对称图形， 设点 关于直线 的对称点为点 ，则 ， ， ， 所以， ， 则动点 在点 的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题. 3．（2019·上海曹杨二中高二期末）已知直线 过点 ，且它的一个方向向量为 ，则原点 到直线 的距离为______． 【答案】 【分析】求出直线 的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出原点 到直线 的距离. 【详解】由于直线 的一个方向向量为 ，则直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，因此，原点 到直线 的距离为 . 故答案为 . 【点睛】本题考查点到直线距离的计算，同时也考查了直线方向向量的应用，解题时要根据题中条件得出直线的斜率，并写出直线的方程，考查计算能力，属于中等题. 4．（2015·上海复旦附中高二期中）已知 ， ，设直线 ，其中 ，给出下列结论： ①直线 的方向向量与向量 共线； ②若 ，则直线 与直线 的夹角为 ； ③直线 与直线 （ ）一定平行； 写出所有真命题的序号________ 【答案】①② 【分析】①求出直线l的方向向量，判断它与向量 共线; ②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角，即可得出两直线的夹角; ②根据两直线的斜率与在y轴上的截距，得出两直线不一定平行. 【详解】对于①，直线l的方向向量是 ，它向量 共线，是真命题； 对于②，当 时，直线l的斜率是 ，倾斜角是 ，直线y＝x的斜率是1，倾斜角是 ，因此两直线的夹角为 ，是真命题; 对于③，直线l的斜率是 ，在y轴上的截距是m，直线 的斜率 ，且在y轴上的截距是 ，当m＝ 时，两直线重合，不平行，∴假命题. 综上，是真命题的序号是①②. 故答案为:①② 【点睛】本题考查了直线的斜率，倾斜角，方向向量等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 5．（2020·全国高二课时练习）已知： ， ， ， ， ，一束光线从 点出发发射到 上的 点经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点） 斜率的范围为____________. 【答案】 【分析】先作出 关于 的对称点 ，再作 关于 的对称点 ，因为光线从 点出发射到 上的 点经 反射后，反射光线的反向延长线经过 关于直线 的对称点 点，又因为再经 反射，反射光线经过 关于直线 的对称点，所以只需连接 交 与点 ，连接 分别交 为点 ，则 之间即为点 的变动范围．再求出直线 的斜率即可． 【详解】∵ ，∴直线 方程为 ，直线 方程为 , 如图， 作 关于 的对称点 ，则 ， 再作 关于 的对称点 ，则 ,   连接 交 与点 ，则直线 方程为 , ∴ ， 连接 分别交 为点 ，  则直线 方程为 ，直线 方程为 ，  ∴ ，连接 ，  则 之间即为点  的变动范围．  ∵直线 方程为 ，直线 的斜率为    ∴ 斜率的范围为   故答案为： . 【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题. 6．（2018·上海交通大学附属中学浦东实验高中高二期中）已知直线 和 的夹角为 ，那么 的值为____________. 【答案】3或 【分析】利用