专题17压轴大题突破培优练（七）（精选江苏模拟30题）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题17压轴大题突破培优练（七） 【题型说明】 本专题题型包括：新定义与材料阅读创新题、方程与不等式的整合应用、一次函数的实际问题、最优方案设计问题、一次函数与几何综合问题、反比例函数与一次函数综合问题、反比例函数与几何综合问题、二次函数的应用、二次函数综合问题、三角形综合题、四边形综合题、圆综合题、几何变换综合题等题型，共计30道大题. 【培优提升】 一．解答题（共30小题） 1．（2021•江都区模拟）平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，如图所示，P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2．请用所学知道解决问题： 已知道⊙O半径为3， （1）如图1，P（x，y）为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； （2）如图2，已知Q（a，b），QA为⊙O切线，B（2，﹣1），且QA＝QB，求b关于a的函数关系式； （3）如图3，M点坐标（﹣5，0），在x轴上是否存在点N（不同于点M），满足对于⊙O上任意一点P，都有为一常数，若存在求出N点坐标，若不存在请说明理由． 【分析】（1）根据两点间距离公式可得答案； （2）连OA、OQ，根据切线的性质得方程，求解即可得到答案； （3）假设存在这样的点N（t，0），当P为圆O与x轴左交点（﹣3，0）时，；当P为圆O与x轴右交点（3，0）时，，通过解方程得N的坐标，设P（x，y），则y2＝9﹣x2，然后根据比值即可确定问题的答案． 【解析】（1）由题可得， 即x2+y2＝9； （2）连OA、OQ， ∵QA是⊙O的切线， ∴∠OAQ＝90°， ∴QA2＝QO2﹣OA2＝a2+b2﹣9，QB2＝（a﹣2）2+（b+1）2， 又∵QA＝QB， ∴QA2＝QB2， ∴a2+b2﹣9＝（a﹣2）2+（b+1）2， 整理得：b＝2a﹣7． （3）方法1：假设存在这样的点N（t，0），当P为圆O与x轴左交点（﹣3，0）时，； 当P为圆O与x轴右交点（3，0）时，，依题意，， 解得，t＝5（舍去），或t 下面证明点对于圆O上任一点P，都有为一常数． 设P（x，y），则y2＝9﹣x2， ∴， 从而为常数． 方法2：假设存在这样的点N（t，0），使得为常数λ，则PN2＝λ2PM2， ∴（x﹣t）2+y2＝λ2[（x+5）2+y2]，将y2＝9﹣x2代入得， 即x2﹣2xt+t2+9﹣x2＝λ2（x2+10x+25+9﹣x2）， 2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9＝0对﹣3≤x≤3恒成立， ∴， 解得或（舍去）， 所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数． 【点评】此题为圆的综合题目，能够根据圆的性质、切线的性质及勾股定理得到方程，从而求解可得问题的答案，是中考压轴题目． 2．（2021•泰州模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝10，sinB，点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿着B→C→D→A的方向运动到点A时停止，设点P运动的时间为ts． （1）连接AC，判断△ABC是否是直角三角形，试说明理由； （2）在点P运动的过程中，若以点C为圆心、PC长为半径的⊙C与AD边相切，求t的值； （3）在点P出发的同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着C→D→A的方向运动，当P、Q中的一点到达终点A时，另一点也停止运动．求当BP⊥CQ时t的值． 【分析】（1）依据已知条件结合三角函数和勾股定理的逆定理判断△ABC的三个内角不等于90°即可； （2）利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，分别确定点P的位置，进而求出P点移动的距离，t的值可求； （3）利用BP⊥CQ，得到直角三角形，根据互余角的正切值的乘积为1，列出方程即可求解． 【解析】（1）△ABC不是直角三角形．理由： 如图，过点A作AE⊥BC于E， ∵sinB，AB＝5， ∴AE＝AB•sinB＝4． ∴BE． ∴EC＝BC﹣BE＝7． ∴AC2＝AE2+EC2＝42+72＝65． ∴AC． ∵sinB1， ∴∠B＜90°． ∵AB＝5，AC， ∴AB＜AC． ∴∠ACB＜∠B． ∴∠ACB＜90°． ∵AB2+AC2＝25+65＝90， BC2＝102＝100， ∴AB2+AC2＜BC2 ∴∠BAC＞90°． 综上，△ABC不是直角三角形． （2）点P运动的过程中，以点C为圆心、PC长为半径的⊙C与AD边相切，有三种情形： ①如图，当点P在BC边上时，过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F， 由（1）知，AE＝4，CF＝AE＝4． ∴以点C为圆心、PC长为半径的⊙C与AD边相切时，半径为4． ∴PC＝4． ∴BP＝BC﹣PC＝6． ∴t＝6÷2＝3（s）． ②如图，当点P在CD边上时，过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥A