第七练 统计压轴小题-2021年新高考数学压轴小题狂练

第七练统计专题压轴小题解析版 一、单选题 1．设,则________. 答案： 分析 ：因为,分别令和,即可求得答案. 详解 ： 令. 原式化为. 令,得, . 故答案为:. 点睛 ：本题主要考查了多项式展开式系数和,解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 2．（2019·湖南岳阳一中高三月考（理））如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为. 所以点M取自E内的概率为. 3．若点集，设点集 现向区域M内任投一点，则点落在区域P内的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先分析集合所表示的区域，将，转化为，结合集合 ，可得，作出集合所表示的区域，并计算出该区域的面积；对于集合所表示的区域，分析集合、表示的区域，把、代入，可得，分析可得集合所表示的区域形状与面积，根据几何概型的概率公式可计算出答案． 【详解】 任取，，，得， 由于点，则，所以，， 所以，，表示的区域是以点，半径为的圆及其内部，其面积为； ， 集合所表示的区域是以、、、为顶点的正方形， 把、代入，可得， 集合所表示的区域是以集合的圆心在区域的边长移动，圆所覆盖的区域，区域的面积为，则向区域内任投一点，该点落在区域内的概率为，故选A． 【点睛】 本题考查几何概型的概率计算，本题的关键在于分析集合所表示的区域的形状，难点是分析区域的形状，考查计算能力，属于难题． 4．（2020·湖南高三月考（文））如图所示，将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( ) A．33 B．56 C．64 D．78 【答案】B 【解析】 【分析】 记分隔边的条数为，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色数记为，列中方格出现的颜色个数记为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含有色方格的行数与列数之和，定义当行含有色方格时，，否则，类似的定义，计算得到，再证明，再证明对任意均有，最后求出分隔边条数的最小值. 【详解】 记分隔边的条数为，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边， 此时共有56条分隔边，即， 其次证明：， 将将方格的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色数记为，列中方格出现的颜色个数记为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含有色方格的行数与列数之和，定义当行含有色方格时，，否则，类似的定义， 所以， 由于染色的格有个，设含有色方格的行有个，列有个，则色的方格一定再这个行和列的交叉方格中， 从而， 所以①， 由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边， 类似的，在列中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边， 则② ③ 下面分两种情形讨论， (1)有一行或一列所有方格同色， 不妨设有一行均为色，则方格的33列均含有的方格，又色的方格有363个,故至少有11行有色方格，于是④ 由①③④得 ， (2)没有一行也没有一列的所有方格同色, 则对任意均有， 从而，由式②知： ， 综上，分隔边条数的最小值为56. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查染色问题，考查计数原理，考查分析推理能力，是一道难度极大的题目. 5．【2020·山西省高三月考】勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为， 则小勒洛三角形的面积， 因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为， 所以在勒洛三角形的面积为 若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为， 故选：C 【点睛】此题考查概率与几何概型、平面图形等知识，考查阅读能力和数学计算能力，属于中档题. 二 多选题 6．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数．若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Pi，在[10，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则