第六练 不等式及直线与圆压轴小题-2021年新高考数学压轴小题狂练

第六练不等式及直线与圆压轴小题 一．单选题 1．若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　) A．2 B. C. D．1＋ 解析：选A　由a，b为正数，且＋＝1，得b＝＞0，所以a－1＞0， 所以＋＝＋＝＋ ≥2 ＝2， 当且仅当＝和＋＝1同时成立， 即a＝b＝3时等号成立， 所以＋的最小值为2. 2．设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于(　　) A．4 B.4 C．8 D．8 解析：选C　因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝，解得a＝5＋2或a＝5－2，可取C1(5＋2，5＋2)，C2(5－2，5－2)，故|C1C2|＝＝8，故选C. 3．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为(　　) A．4 B.3 C．2 D．1 解析：选D　由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1. 二．多选题 4．（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 【分析】 A选项，利用基本不等式和可得出该不等式的正误；B选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C选项，利用基本不等式以及可验证该选项中的不等式是否成立；D选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立. 【详解】 对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号； 对于C，，当且仅当时取等号； 对于D，当，时，，，， 所以. 故选：AD. 【点睛】 本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题. 6．“存在正整数，使不等式都成立”的一个充分条件是( ) A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据对数函数的运算将题目转化为,因为,则,约掉,再对不等式分离常数,分情况讨论求解. 【详解】 解：由, 得, ,, 即, 若存在正整数,使,需, 当时,取最小值, ,又,的取值范围为, 易知选项BD是子集. 故选:BD 【点睛】 本题考查含参数的不等式的解法,分离参数再分情况讨论是解题的关键. 7．已知函数y＝f（x）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若f（0）＝M，f（2）＝N（M＞0，N＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（ ） A．必存在x∈[0，2]，使得f（x） B．必存在x∈[0，2]，使得f（x） C．必存在x∈[0，2]，使得f（x） D．必存在x∈[0，2]，使得f（x） 【答案】ABD 【解析】 【分析】 先由题可知函数图像为上连续的增函数，再结合每个选项和不等式性质验证合理性即可 【详解】 因函数y＝f（x）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，，所以； 对A，若成立，则，即，显然成立； 对B，若成立，则，即，显然成立； 对C，若成立，则，先证，假设成立，则，即，如时，不成立，则C不成立； 对D，若成立，则化简后为：，即，左侧化简后成立，右侧化简后成立，故D成立 故选：ABD 【点睛】 本题考查函数增减性的应用，不等式性质的应用，属于中档题 8．如下的四个命题中真命题的标号为（ ） A．已知实数，，满足，，则 B．若，则的取值范围是 C．如果，，，那么 D．若，则不等式一定成立 【答案】ABCD 【解析】 【分析】 A选项中把给出的已知条件右侧配方后可得，再把给出的两个等式联立消去后，得到，利用比差法得与的大小关系；B选项中先求出，再利用同向不等式的可加性得的取值范围；C选项中利用函数在上单调递减的性质；D选项中利用分析法证明不等式. 【详解】 对A，由，．再由①，②，得：，即．，，，故A正确； 对B，，，，故B正确； 对C，由，则，当时，，在上单调递减，，，，故C正确； 对D，要证不等式成立，等价于证明，，显然成立，故D正确. 故选：ABCD. 【点睛】 本题考查导数求函数的单调性、不等式性质、配方法、比差法、分析法等比较数、式的大小，综合考查逻辑推理能和运算求解能力，注意数形结合思想的灵活运用. 三．填空题 9．已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________． [解析]　由a＞b＞0，得a－b＞0， ∴b(a－b)≤2＝. ∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号． ∴a2＋的最小值为4. [答案]　4 答案]　4 10．【2020年高