第八练 圆锥曲线压轴小题-2021年新高考数学压轴小题狂练

第八练圆锥曲线压轴小题 一、单选题 1．（2020·山东高三其他）已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意，得 ①，且分别为的中点．由双曲线定义，知 ②， ③，联立①②③，得．因为的周长为12，所以的周长为24，即，亦即，所以．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时，所以，所以，故选C． 点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式． 2．已知双曲线Γ：(a＞0，b＞0)的上焦点为F(0，c)(c＞0)，M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2相切于点D．且|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为 A．x±y＝0 B． C．6x±7y＝0 D．7x±6y＝0 【答案】D 【解析】由题得设圆 .故圆心,半径. 连接下焦点与,由题,又故,故. 又,故.且,故. 故得 化简得,故双曲线Γ的渐近线方程为.即. 故选D 3．（2020·高台县第一中学高二期中（文））已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|， ∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴， 设PA的倾斜角为，则， 当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切， 设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0， ∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1）， ∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为． 故选B． 点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化得到，m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用. 4．（2019·湖南天元·株洲二中月考（理））有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为: （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题得：设周长为 当且仅当M、A、B共线时，周长的最小 点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB、BN、AM、AN的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案 5．（2019·柳州高级中学高二期中（理））如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由同起点的向量做加法想到平行四边形法则，从而取的中点E，由已知可知，由三线合一知三角形为等腰三角形，再由余弦的定义表示的余弦值，又由双曲线的定义表示，最后在中，由余弦定理构建方程，求得，将其代入渐近线方程，得答案. 【详解】 取线段的中点E，连接， 因为，所以， 故三角形为等腰三角形，且． 在中，， 连接，又，点Q在双曲线C上， 所以由双曲线的定义可得，，故． 在中，由余弦定理得， ． 整理可得，所以， 故双曲线C的渐近线方程为． 故选：B 【点睛】 本题考查由几何关系求双曲线的渐近线，由余弦定理构建方程，还考查了平面向量加法的平行四边形法则和垂直关系，属于难题. 6．（2019·四川成都外国语学校高二期中（理））为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则的离心率为（ ） A． B．2 C．或 D．2或3 【答案】D 【解析】 由于为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于，所以，故外接圆半径为.设内切圆半径为，根据三角形的面积公式，有，解得，故两圆半径比为，化简得，解得或. 【点睛】本题主要考查双曲线的基本概念和性质，考查双曲线的通径长，考查直角三角形的外心和内心的求法.首先根据题意画出图象.根据双曲线的定义，可将直角三角形的三条边长求出来.直角三角形的外心在斜边的中点，而内切圆半径可以采用面积公式，利用等面积法来计算. 7．（201