预测12 二次函数与线段、面积和角度的综合-【临门一脚】2021年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

预测12 二次函数与线段、面积和角度的综合 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 ①有关线段长度的二次函数。 ②有关几何图形面积的二次函数。 ③有关角度的计算的二次函数。 二次函数是全国中考的热点，也是每年必考的！全国各地的中考数学试题都把二次函数作为压轴题。 1．从考点频率看，周长、角度与二次函数的综合是高频考点。 2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约11分。 常考知识点总结 1. 两点之间距离公式： 2.中点坐标：线段AB的中点C的坐标为: 3.直线 的位置关系 （1）两直线平行 （2）两直线相交 （3）两直线重合 （4）两直线垂直 4.三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 5.点到直线的距离公式 ①线段问题：求线段长度时，要将线段问题转化为点的坐标问题，根据坐标的特点，求出线段长，或根据题中线段之间的数量关系，列出满足条件的方程求解。②面积问题：若图形是规则图形，直接求即可，若是不规则图形，则可以通过割补法求面积，或过特殊点作x轴的垂线，将所求面积进行分割，再将面积问题转化为线段问题，构建函数模型求面积。 1．（内蒙古鄂尔多斯市2020年中考数学试题）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C（(0，﹣3)． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度； （3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）CD的长度为3﹣ 或3 ﹣3；（3）(﹣ ， )，(﹣ ，﹣ ) 【解析】 【分析】 （1）将点A，点C坐标代入解析式可求解； （2）先求出点B坐标，可得OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB＝45°，再分点D在点C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解； （3）在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，由“SAS”可证△OCE≌△OCA，可得∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝ ，由面积法可求EF的长，由勾股定理可求CF的长，可求tan∠ECA＝tan∠PAB＝ ，分点P在AB上方和下方两种情况讨论，求出AP解析式，联立方程组可求点P坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点， ∴点B（﹣3，0）， ∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 如图1，当点D在点C上方时， ∵∠DBC＝15°， ∴∠OBD＝30°， ∴tan∠DBO＝ ＝ ， ∴OD＝ ×3＝ ， ∴CD＝3﹣ ； 若点D在点C下方时， ∵∠DBC＝15°， ∴∠OBD＝60°， ∴tan∠DBO＝ ＝ ， ∴OD＝3 ， ∴DC＝3 ﹣3， 综上所述：线段CD的长度为3﹣ 或3 ﹣3； （3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC， ∵点A（1，0），点C（0，﹣3）， ∴OA＝1，OC＝3， ∴AC＝ ＝ ＝ ， ∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC， ∴△OCE≌△OCA（SAS）， ∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝ ， ∴∠ECA＝2∠ACO， ∵∠PAB＝2∠ACO， ∴∠PAB＝∠ECA， ∵S△AEC＝ AE×OC＝ AC×EF， ∴EF＝ ＝ ， ∴CF＝ ＝ ＝ ， ∴tan∠ECA＝ ＝ ， 如图2，当点P在AB的下方时，设AO与y轴交于点N， ∵∠PAB＝∠ECA， ∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝ ＝ ， ∴ON＝ ， ∴点N（0， ）， 又∵点A（1，0）， ∴直线AP解析式为：y＝ x﹣ ， 联立方程组得： ， 解得： 或 ， ∴点P坐标为：（﹣ ，﹣ ） 当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣ x+ ， 联立方程组得： ， 解得： 或 ， ∴点P坐标为：（﹣ ， ）， 综上所述：点P的坐标为（﹣ ， ），（﹣ ，﹣ ）． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，求出tan∠ECA=tan∠PAB= 是本题的关键． 2.（2020年昆明中考）如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点． （1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标； （2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段