第五练 立体几何压轴小题-2021年新高考数学压轴小题狂练

第五练立体几何压轴小题 一、单选题 1．已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到的最大值． 【详解】 依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球 设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：则，因为， 故可得：； 所以为等边三角形，故是的中心， 连接，则平分， 所以； 所以，即， 即四面体的外接球的半径为． 另正四面体可以从正方体中截得，如图： 从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为， 而正四面体的四个顶点都在正方体上， 故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 所以，所以． 即的最大值为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题． 2．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 求得点的轨迹是平面内以点为圆心，半径为的圆，可得，进而可得出题中所求角等于直线与直线的夹角，然后过点作平面于点，过点作于点，连接，找出使得最大和最小时的位置，进而可求得所求角的余弦值的取值范围. 【详解】 连接交平面于点，延长线段至点，使得，连接、、，如下图所示： 已知在正方体中，底面，平面，， 又四边形为正方形，所以，， ，平面，平面，， 同理，，平面， 三棱锥的体积为， ，， 可得， 所以，线段的长被平面与平面三等分，且与两平面分别垂直， 而正方体的棱长为，所以，，如下图所示： 其中，不妨设，由题意可， 所以，，可得， 所以，点在平面内以点为圆心，半径为的圆上. 因为，所以，直线与直线的夹角即为直线与直线所成角. 接下来要求出线段与的长，然后在中利用余弦定理求解. 如图，过点作平面于点，过点作于点，连接， 根据题意可知，，且， 所以，，. 如图所示，，当点在处时，最大，当点在处时，最小. 这两种情况下直线与直线夹角的余弦值最大，为； 当点在点处时，为直角，此时余弦值最小为. 综上所述，直线与直线所成角的余弦值的取值范围是. 故选：A. 【点睛】 本题考查异面直线所成角的取值范围的求解，解题的关键就是确定点的轨迹，考查推理能力与计算能力，属于难题. 3．已知正六棱锥，是侧棱上一点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】 【分析】 通过明确异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，应用三角函数知识求解，而后比较大小. 【详解】 解：如图，设点在底面上的射影为点，连接，, 作，则平面，所以与平面所成的角为， 即， 根据线面角最小定理知，作，则二面角的平面角为，即，根据，所以. 故选B. 【点睛】 本题考查立体几何中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算，考查空间想象能力，数形结合思想，分析问题能力，属于难题. 4．斜三棱柱中，底面是正三角形，侧面是矩形，是线段上的动点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线和平面的最小角定理，结合线面角和二面角的定义，即可得解. 【详解】 根据最小角定理，可得， 当在线段上的移动时， 和重合时， 与平面所成角最大，(因为ABB1A1为矩形） 作平面于， 作的延长线于， 连接和，则，， 由于 为直角， 所以，可得， 故选：B. 【点睛】 本题考查了线线角、线面角以及面面角的比较，考查了最小角定理，考查了线面角以及面面角的定义以及立体空间感，属于难题. 5．如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知，当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积． 【详解】 当斜面α经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8 此时作正四棱台俯视图如下： 则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5 因为正四棱台的高为5，所以截面等腰梯形的高为 所以截面面积