第四练 平面向量压轴小题-2021年新高考数学压轴小题狂练

平面向量压轴小题 一．单选题 1.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　) A.－1 B.＋1 C．2 D．2－ 答案：A 解析：∵b2－4e·b＋3＝0， ∴(b－2e)2＝1，∴|b－2e|＝1. 如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a－b|就是线段AB的长度． 要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为－1. 2．已知平面向量满足，则最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 与所成夹角为，则： ，则向量的夹角为60°， 设，则，故：，设O到BC的距离为， 则，由可知点A落在以O位圆心，4为半径的圆上， A到BC的距离的最大值为， 则△ABC的面积的最大值为： 故最大值为本题选择D选项. 3．已知在三角形中， ，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】有题可知. 建立如图所示的坐标系，有点. 设，则. 所以 . 因为点到边的距离，所以的面积为定值. 所以，故，故选C. 4．如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，，所以，化简得，解得题目所给图像可知.由基本不等式得 ，即. 5．在△ABC中，BC=7，.若动点P满足，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】． 【解析】设,因为 所以三点共线，所以点的轨迹为直线,如图： 在中，,,,由正弦定理,解得, , ,,所以,故选B. 仅当，即时，等号成立，故最小值为. 6.在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得为的外心， 又，可得 ，， 即， 即有，，可得为的垂心， 则为的中心，即为正三角形． 由，即有， 解得，的边长为， 以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 可得，，， 由，可设，， 由，可得为的中点，即有，， 则 ， 当，即时，取得最大值，且为． 故选：． 7．(2020•广东珠海2月月考)如图，正方形ABCD内接于圆O：x2+y2＝2，M，N分别为边AB，BC的中点，已知点P(2，0)，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是(　　) A．[﹣1，1] B． C．[﹣2，2] D． 【答案】C 【解析】【分析】由平面几何知识可得OM＝ON，设M(cosα，sinα)，用α表示出和，得到关于α的函数，根据三角函数的性质得出答案． 【解答】解：圆O的半径r＝，∴正方形的边长为1， ∴OM＝ON＝1，设M(cosα，sinα)，则N(cos()，sin())，即N(﹣sinα，cosα)， ∴＝(cosα﹣2，sinα)，＝(﹣sinα，cosα)， ∴＝2sinα﹣sinαcosα+sinαcosα＝2sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣2≤2sinα≤2， 故选：C． 8．（2020•资阳）已知向量=，.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为向量=可得， 所以，是夹角为，模为2的两个向量， 设，，，则A，B在以原点为圆心，2为半径的圆上，如图， 不妨令A（2，0），则B（-1，），则，则，所以C在以D为圆心，1为半径的圆上，，即求以D为圆心，1为半径的圆上的动点C到（0，0）的距离的最值问题， 又|OD|． 所以∈[，]= [，]， 故选：D． 9．已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　) A. B. C. D．(2,3) 解析：选A　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)