第二练 三角函数压轴小题-2021年新高考数学压轴小题狂练

第二练 三角函数压轴小题 一．单选 1．函数的值域为 A．[5，10] B．[，10] C．[7，10] D．[7，] 答案：D 解析：∵， ∴，∵0≤≤1，故49≤≤50， 又≥0，∴7≤≤，故选D． 2.www.ks5u.com 在中，角、、的对边分别为、、，若，，点是的重心，且，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 分析】 利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出，可得出或，然后由点是的重心，得出，两边平方后化简得出，然后分或两种情况讨论，求出的值，由余弦定理可求出的值. 【详解】，， 整理得，解得或（舍去）. 或. 又点是的重心，则， 等式两边平方得， ，，，整理得. ①当时，则有，解得， 由余弦定理得，则； ②当时，则有，解得， 由余弦定理得，则. 因此，或. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形问题，本题涉及三角形的重心问题，在解题时可充分利用向量来处理，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 3.已知函数，为的一个零点，为图象的一条对称轴，且在上有且仅有7个零点，下述四个结论： ①；②在上有且仅有4个极大值点； ③；④在上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得到与，利用两式可求解，再由在上有且仅有7个零点求解，作出简图，依次看选项得出结论. 【详解】由题意得到与， 可得 由①+2×②，得，， 由②-①，得. ∵，∴，，即，. ∵在上有且仅有7个零点，∴，，故③错误； 所以. 作出的图象，如图所示， 可知在上有且仅有3个极小值点，4个极大值点. ∵当时，，∴在上单调递增. 故选：D. 【点睛】本题考查了正弦函数的对称性与图像的应用，考查了正弦函数的单调性、极值，考查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于中档题. 4.（2020回民中学二模）已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 用辅助角公式，将化为正弦型三角函数，利用图像变换关系求出，再结合函数图像和性质，即可求解. 【详解】，所以， 故的周期为，且. 因为，所以， 或，所以， 所以. 故选:A 5.若，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，则 二.多选题 6．（2020•山东新高考模拟演练2）若函数的图象过点，则结论不成立的是( ) A．点是的一个对称中心 B．直线是的一条对称轴 C．函数的最小正周期是 D．函数的值域是 【答案】ABC． 【解析】答案：ABC 分析：先将点代入中可得,则化简后,进而根据余弦型函数的性质依次判断选项即可 详解：由函数的图象过点, 可得,即,,,, 故, 当时,,故A、B都不正确； 的最小正周期为,故C不正确； 显然,,故D正确, 故选:ABC 点睛：本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题． 三．填空题 7．在△ABC中，sin (A－B)＝sin C－sin B，则cos A＝__________；点D是BC上靠近点B的一个三等分点，记＝，则当取最大值时，tan ∠ACD＝__________．（本题第一空2分，第二空3分．） 【解析】因为sin (A－B)＝sin C－sin B，所以sin B＝sin C－sin (A－B)，即sin B＝sin (A+B)－sin (A－B)，整理得sin B＝2cos Asin B，又因为sin B≠0，所以cos A＝；设BD=x，∠BAD＝，∈(0，)，则DC=2x，sin B＝tsin， 由正弦定理可得AD=tx，sinC==， 又sinC===， 由=，得cos B=t． 因为sin 2B+cos2B=t2sin2+t2cos2=1， 所以t2=， 因为∈(0，)，所以－∈(－，)，所以当－=0时，t取得最大值+1， 此时sin B=(+1)×，所以B＝，tan ∠ACD＝tan (－－)=2＋． 答案为： 2＋ 8.设、，且，则的最小值等于　 　． 【答案】 【解析】根据三角函数的性质，可知，的范围在，， 要使，，． 则：，．，即，． 那么：，、． 的最小值为． 9.（2020上海南洋）设等差数列满足：，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是________. 【答案】 【解析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围． 【详解