第三练 数列专题压轴小题-2021年新高考数学压轴小题狂练

第三练数列压轴小题解析版 一、单选题 1．已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，设bn＝log3an，数列的前n项和Tn的范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得，求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得，判断为递增数列，可得所求范围． 【详解】 解：首项，前项和为，， 可得， 时，，又， 两式相减可得， 则， 可得， 上式对也成立， 则，， ， ， 则前项和， ， 相减可得 ， 化简可得， 由，可得为递增数列， 可得， 而，可得， 综上可得， 故选：C． 【点睛】 本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题． 2．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先得出若，则， 然后，设．利用错位相减法即可得出，然后可得答案. 【详解】 因为，． ∴若，则． 那么 ． 设． ． ∴． ∴时，． ∴． 故选：A． 【点睛】 本题考查的是随机变量的期望和利用错位相减法求数列的和，属于中档题. 3．对于任意实数x，符号[x]表示不超x的最大整数，例如[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1.已知数列{an}满足an＝[log2n]，其前n项和为Sn，若n0是满足Sn＞2018的最小整数，则n0的值为（　　） A．305 B．306 C．315 D．316 【答案】D 【分析】 由题意，求解的通项，即可求解前项和为，即可求解满足的最小整数的值． 【详解】 解：由题意，，当时，可得．项） 当时，即．项） 当时，即．项） 当时，即．项） 当时，即．项） 当时，即，项） 前项和为：．① ．② 由①②可得： 即 此时：． 对应的项为． 即． 故选：． 【点睛】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前项和公式、“错位相减法”、递推式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 4．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知得到关于数列{an}的递推式，进一步得到{Sn+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{an}的前n项和为Sn，进一步求得数列{an}的通项，然后利用错位相减法求得，代入＜λan2+2，分离参数λ，求出的最大值得答案． 【详解】 圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2， 由d2r2，且， 得22+Sn＝2an+2，∴4+Sn＝2（Sn﹣Sn﹣1）+2， 即Sn+2＝2（Sn﹣1+2）且n≥2； ∴{Sn+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列． 由22+Sn＝2an+2，取n＝1，解得＝2， ∴Sn+2＝（+2）•2n﹣1，则Sn＝2n+1﹣2； ∴（n≥2）． ＝2适合上式， ∴． 设 ，， 所以 . 所以，若对任意恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立. 设，因为，所以，故的最大值为 因为，所以. 故选B 【点睛】 本题考查数列通项公式，数列求和，数列的最值，不等式恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查直线与圆的位置关系，是中档题． 5．已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值. 【详解】 ① 当时，类比写出 ② 由①-②得 ，即. 当时，， ， ③ ④ ③-④得， （常数），， 的最小值是 故选C. 【点睛】 本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用. 6．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式． 【详解】 由题已知是上的奇函数 故， 代入得： ∴函数关于点对称，令，则，得到． ∵， 倒序相加可得，即 ， 故选B． 【点睛】 本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求