专练11（几何类压轴题）（30）-2021年中考数学考点必杀500题（湖南长沙专用）

2021中考考点必杀500题 专练11（几何类压轴题）（30道） 1．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形中，若，，则称四边形为准平行四边形． （1）如（图①），、、、是⊙O上的四个点，，延长到，使．求证：四边形是准平行四边形； （2）如（图②），准平行四边形内接于⊙O，，，若⊙O的半径为5，，求的长； （3）如（图③），在中，，，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】 （1）可证是等边三角形，可得，由圆的内接四边形的性质可得，由四边形内角和定理可证，可得结论； （2）如图②，连接，由准平行四边形定义可求，可得是直径，由勾股定理可求，将绕点顺时针旋转得到，可得，，，，由勾股定理可求的长； （3）如图③，作的外接圆，过点作于，于，由准平行四边形定义可求，可得，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求，，由勾股定理可求，由当点在的延长线时，的长有最大值，即可求解． 【详解】 解：证明：（1）∵， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 且， ∴， ∴，且， ∴四边形是准平行四边形． （2）如图②，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是准平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴是直径， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转90°得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴点，点，点三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图③，作的外接圆，过点作于，于， ，，， ，， 四边形是准平行四边形，且， ， ，且，， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 当点在的延长线时，的长有最大值， 长的最大值． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，理解准平行四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点． 2．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，A(0，a)，B(b，0)，D(c，0)，＋ c2﹣4c＋4＝0，b为最大的负整数，DE⊥x轴且∠BED＝∠ABD，BE交y轴于点C，AE交 x轴于点F． （1）求A，B，D的坐标； （2）在y轴上是否存在点G使得GF＋GE有最小值？如果存在，求出GF＋GE的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）如图，过P(0，﹣1)作x轴的平行线，在平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM＝45°，QE交x轴于N，ME交 y轴正半轴于M，求的值． 【答案】（1）A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)；（2）存在，最小值为；（3）1． 【分析】 （1）由非负数的性质可求得a、c的值，可求得A、B、D的坐标； （2）由条件可证明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的长，可求得E点坐标，再求得直线AE的解析式，可求得F点坐标；如图1，作点F关于 y轴的对称点F'(﹣3，0)，连接EF'，交AO于G，则GF＋GE最小值为EF'，由勾股定理可求解； （3）过E作EG⊥OA于点G，EH⊥PQ于点H，可证明四边形GEHP为正方形，在GA上截GI＝QH，可证明 △IGE≌△QHE，可证得∠IEM＝∠MEQ＝45°，可证明△EIM≌△EQM，可得到IM＝MQ，再结合条件可求得 AI＝PQ，可求得答案． 【详解】 解：（1）∵＋c2﹣4 c＋4＝0， ∴＋（c﹣2）2＝0， ∴a＝3，c＝2， ∵b为最大的负整数， ∴b＝﹣1， ∴A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)； （2）∵A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)， ∴OB＝1，OD＝2，OA＝3， ∴AO＝BD， 在△ABO和△BED中， =90°， ∴△ABO≌△BED（AAS）， ∴DE＝BO＝1， ∴E(2，1)， 设直线AE解析式为y＝kx＋b， 把A、E坐标代入可得， 解得， ∴直线AE的解析式为y＝﹣x＋3， 令y＝0，可解得x＝3， ∴F(3，0)， 如图1，作点F关于y轴的对称点F'(﹣3，0)，连接EF'，交AO于G，则GF＋GE最小值为EF'， ∴EF'＝＝ ＝， ∴GF＋GE的最小值为； （3）过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G、H，在GA上截取GI＝QH，如图2， ∵E(2，1)，P(﹣1，0)， ∴GE＝GP＝EH＝PH＝2， ∴四边形GEHP为正方形， ∴∠IGE＝∠EHQ＝90°， 在Rt△IGE和Rt△QHE中， ∴△IGE≌△QHE（SAS）， ∴IE＝EQ，∠1＝∠2， ∵∠QEM＝45°， ∴∠2＋∠3＝45°， ∴∠1＋∠3＝45°， ∴∠IEM＝∠QEM， 在△EIM和△EQM中， ， ∴△EIM≌△EQM（SAS）， ∴IM＝MQ，