专练09（几何证明题）（30）-2021年中考数学考点必杀500题（湖南长沙专用）

2021中考考点必杀500题 专练09（几何证明题）（30道） 1．（2021·湖南长沙市·九年级一模）如图，已知在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点E是边AB上一动点，EF⊥AC于点F，ED⊥BC于点D，点G为FD的中点． （1）求证：四边形CDEF是矩形 （2）当点E由点A运动到点B时，求点G的运动路径长． 【答案】（1）证明见详解；（2）． 【分析】 （1）先利用勾股定理逆定理证△ABC为直角三角形，可得∠ACB=90°，由EF⊥AC，ED⊥BC，可得∠CFE=∠CDE=90°，可证四边形CDEF为矩形； （2）连结CE，由四边形CDEF为矩形，证点G在CE上，点G的路径为△ACB的中位线MN，由M，N分别为AC，BC中点，可得MN∥AB，且MN=即可． 【详解】 解：（1）在△ABC中，， ∴△ABC为直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∵EF⊥AC，ED⊥BC， ∴∠CFE=∠CDE=90°， ∴∠ACB=∠CFE=∠CDE=90°， ∴四边形CDEF为矩形． （2）连结CE， ∵四边形CDEF为矩形， ∵点G为FD的中点， ∴FG=GD， ∴点G在CE上， 根据矩形性质CG=GE， 当点E与点A重合时，点G与AC中点M重合，当点E与点B重合时，点G与BC中点N重合， ∴点G的路径为△ACB的中位线MN， ∵M，N分别为AC，BC中点， ∴MN∥AB，且点G的运动路径长=MN=． 【点睛】 本题考查勾股定理逆定理，直角三角形，矩形的判定与性质，三角形中位线判定与性质，掌握勾股定理逆定理，直角三角形，矩形的判定与性质，三角形中位线判定与性质是解题关键． 2．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）如图，的对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE． （1）若，求EF的长； （2）判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析 【分析】 （1）只要证明即可得到结果； （2）先判断四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论； 【详解】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线， ∴，OA=OC， 又∵， ∴， 在△AOE和△COF中， ， ∴． ∴FO=EO， 又∵， ∴． 故EF的长为3． （2）由（1）可得，，四边形ABCD是平行四边形， ∴，FC∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又，OE=OF，OA=OC， ∴平行四边形AECF是菱形． 【点睛】 本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键． 3．（2021·长沙市湘郡培粹实验中学九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】 （1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可． （2）证明可得结论． 【详解】 （1）解：， ， ∵， ∴， 平分， ∴， 四边形是平行四边形， ， ， （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ∴， ， ∴， ． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的知识点． 4．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级期末）如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，且连结BM、DN． （1）若M，N分别为AD，BC的中点，求证：ABM≌CDN； （2）当四边形BMDN是菱形，AD=2AB，AM=3时，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】 （1）根据矩形的性质和M，N分别为AD，BC的中点，可以得到△ABM和△CDN全等的条件，从而可以证明结论成立； （2）根据菱形的性质和勾股定理，可以求得菱形的边长． 【详解】 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C=90° ∵M，N分别为AD，BC的中点 ∴AM=CN 在△ABM和△CDN中， ∴△ABM≌△CDN（SAS） （2）设AB=x，则AD=2x ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=90° ∵四边形BMDN是菱形，AM=3 ∴BM=DM=2x-3 ∵AM2+AB2=BM2 ∴32+x2=（2x-3）2 解得：x1=0（舍去），x2=4 即AB=4 ∴BM= 即菱形的边长是5． 【点睛】 本题考查菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2021·湖南长沙市·）已知在和中，，，，，相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的度数．