专题2.6 排列组合和二项式定理【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题2.6排列组合和二项式定理【章节复习专项训练】 【考点1】 ：乘法原理 例题1．（2021·上海高三专题练习）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理可得冠军获奖者的情况. 【详解】解:由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取， 每项冠军都有3种选取方法， 由乘法原理共有 种． 故选:C 【变式1】（2020·上海闵行中学高二期中） 本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有________种（用数字填写答案） 【答案】 【分析】根据排列的定义，由题意，直接计算，即可得出结果. 【详解】 本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查排列的应用，属于基础题型. 【变式2】（2021·上海市进才中学高二期末）用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_________. 【答案】320 【分析】组成的三位数为奇数，利用组合数先选末尾，再选首位，最后选中间位置可得答案． 【详解】三位数的末尾为奇数，则不同的选法为 再选首位，不能为零，则不同的选法为 最后选中间位置，不同选法为 则组成无重复数字的三位数且为奇数的个数为 故答案为：320 【变式3】（2020·上海市第二中学高二期末）将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式. 【答案】 【分析】每封录取通知书放入邮筒有 种不同的投递方式，然后利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】由题意知，每封录取通知书放入邮筒有 种不同的投递方式， 由分步乘法计数原理可知，将三封录取通知书投入四个邮筒共有 种不同的投递方式. 故答案为 . 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 【变式4】（2020·上海高三专题练习）乘积 展开后的项数为________. 【答案】60 【分析】第1个括号有3种选法，第2个括号4种选法，第3个括号5种选法，利用乘法原理可得答案。 【详解】从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，第三个括号中选一个字母有5种方法，故根据分步乘法计数原理可知共有N＝3×4×5＝60(项). 故答案为：60 【点睛】本题以多项式乘法展开式的项为问题背景，考查计数原理的应用，属于中档题。 【变式5】（2020·上海师大附中高二期中）3600有________个正约数. 【答案】45 【分析】转化 ，则 中有几个因数2有5个选择，有几个因数3有3个选择，有几个因数5有3个选择，由分步计数原理即得解 【详解】由题意 ， 假设 为3600的一个正约数，则 中有几个因数2有5个选择，有几个因数3有3个选择，有几个因数5有3个选择，由分步计数原理，共有 种不同情况 共答案为：45 【点睛】本题考查了分步计数原理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题 【考点2】 ：排列 例题2．（2021·上海高三专题练习）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，然后对4幅油画和5幅国画进行全排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端， 则油画与国画放在两端有 种不同的排法 然后对4幅油画的排放有 种不同的排法 对5幅国画的排放有 种不同的排法， 所以不同的陈列方式有 种不同的排法. 故选：D. 【变式1】（2021·上海高三专题练习）五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（ ） A．120种 B．96种 C．78种 D．72种 【答案】C 【分析】分甲在末尾和在第二，三，四位讨论其余几人的位置情况即可. 【详解】由题意可先安排甲，并按其分类讨论： 1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有 =24种排法； 2）若甲在第二，三，四位上，则乙不在排尾，也不在甲的位置，有3种，其余三人有 种，所以共有 =54种排法， 由分类计数原理，排法共有24+54=78种， 故选：C． 【点睛】解含有约束条件的排列组合问题，应按有约束条件的元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏． 【变式2】（2021·上海高三专题练习） 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译