专题2.5 简单几何体【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题2.5 简单几何体【章节复习专项训练】 【考点1】 ：多面体的概念 例题1．（2020·上海高三专题练习）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积和底面面积之比为 ，则此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析被平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比再求解即可. 【详解】因为截面面积与底面面积之比为 ，且面积是平方的关系,故平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比为 ； 故小棱锥与大棱锥的侧棱比值也为 ，故此棱锥的侧棱被分成的上、下两段之比为 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了立体几何中相似比的问题，需要注意高为一维的量，面积为二维的量，体积为三维的量，故若立体图形的相似比为 ，则高的比为 ，各面积的比为 ，体积比为 ，考查运算求解能力，是基础题. 【变式1】（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体 中， 是棱 的中点， 为平面 内的点. （1）若 平面 ，确定点 的位置； （2）求点 到平面 的距离. 【答案】（1） 是 的中点；（2）1 【分析】（1）由题意结合立方体的性质建立空间直角坐标系，求出所需各点坐标后，设 ，由 求得 后即可得解； （2）由题意结合（1）可得平面 的一个法向量为 ，再利用 即可得解. 【详解】以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图： 由棱长为1可得 ， ， ， ， ， ，由 是棱 的中点可得 ， （1）由 为平面 内的点可设 ，则 ， ， ， 若 平面 ， 则 ，解得 即 ， 所以 是 的中点； （2）由（1）知平面 的一个法向量为 ， 连接 ，可得 ， 所以 到平面 的距离 . 【点睛】本题考查了立方体几何特征的应用，考查了利用空间向量解决线面垂直、点面距离问题，属于基础题. 【考点2】 ：多面体的直观图 例题2．（2020·上海高三专题练习）平面外的一个直角在平面内的射影的图形是（ ）． A．直角 B．直角或钝角 C．直角、锐角或钝角 D．以上都不准确 【答案】D 【分析】根据直角的放置方式不同得到的射影图形也不同. 【详解】当直角所在平面与题中平面平行时，它的射影图形是直角； 当直角所在平面与题中平面垂直时，它的射影图形是线段； 当然也可以形成锐角或钝角. 故选：D. 【点睛】本题主要考查几何图形的射影，图形摆放的位置及方式不同，它的射影会不同，侧重考查直观想象的核心素养. 【变式1】（2020·上海市七宝中学高二期末）有一多边形 水平放置的斜二测直观图 是直角梯形（如图所示），其中 ， ， ，则原四边形 的面积为__________． 【答案】 【分析】由四边形 水平放置的直观图得出四边形 的各边关系，再求四边形 的面积． 【详解】四边形 水平放置的直观图是直角梯形，且 ， ， ， 四边形 中， ，且 ， 所以四边形 的面积为 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了水平放置的直观图性质等应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 【变式2】（2020·上海高三专题练习）在水平放置的平面 内有一个四边形，用斜二测画法画它的直观图，当斜二测画法满足 轴与 轴、 轴的轴间角都为 且伸缩系数 时，它被画成边长为 的正方形，并且有一条对角线在水平 轴位置，求出这个四边形的真实形状的面积． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的性质，求解真实形状与直观图的边长和高的关系，进而求出真实形状的面积即可. 【详解】由条件这个四边形的真实形状为一个平行四边形，且这个平行四边形的一条边长为直观图的一条对角线长 ，由斜二测画法，对应的高为直观图中正方形的一条边长的2倍即长为 ，所以它的面积为 【点睛】本题主要考查了斜二测画法的运用，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高三专题练习）在水平放置的平面 内有一个四边形，用斜二测画法画它的直观图，当斜二测画法满足 轴与 轴、 轴的轴间角都为 且 时，它被画成边长为 的正方形，并且底边在水平 轴位置．求出这个四边形的真实形状的面积． 【答案】 【分析】由条件这个四边形的真实形状为一个平行四边形，根据斜二测画法的方法与步骤，求出真实形状的长与高，进而可求出面积. 【详解】由条件这个四边形的真实形状为一个平行四边形， 且这个平行四边形的一条边长为 ， 由斜二测画法，对应的高为直观图中正方形的一条对角线， 且它的实际长度是对角线长的2倍，即 ， 所以它的面积为 ． 【点睛】本题考查了斜二测画法的方法与步骤，掌握斜二测画法水平长度与竖直高度的变化情况是解题的关键，属于基础题. 【考点3】 ：几何体的表面积 例题3．（2020·上海交大附中高三开学考试）已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由