专题2.4 空间直线与平面【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题2.4 空间直线与平面【章节复习专项训练】 【考点1】 ：平面及其基本性质 例题1．（2020·上海高三专题练习）在空间，已知直线 及不在 上两个不重合的点 ､ ，过直线 做平面 ，使得点 ､ 到平面 的距离相等，则这样的平面 的个数不可能是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】分情况讨论可得出. 【详解】（1）如图，当直线 与 异面时，则只有一种情况； （2）当直线 与 平行时，则有无数种情况，平面 可以绕着 转动； （3）如图，当 过线段 的中垂面时，有两种情况. 故选：C. 【变式1】（2020·上海高三专题练习）有如下三个命题：（1）若四个点不共面，则它们中任何三点不共线；（2）若四个点中任何三点都不共线，则四点不共面；（3）若四个点共面，则至少三点共线．其中正确的命题有（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】结合四点共面和四点不共面的特征，借助于平面四边形，对命题逐一分析，得出正确结果. 【详解】若四点中有三点共线，则该四点必共面，所以①正确； 空间四点若是平面四边形的四个顶点，四点中任何三点都不共线，但四点共面，所以②错误； 空间四点还取平面四边形的四个顶点，满足四点共面，但任意三点都是不共线的，所以③错误； 所以正确命题的个数为1， 故选：B. 【点睛】该题考查立体几何中点、面位置关系，涉及到的知识点有空间四点共面与否对应的特征，属于基础题目. 【变式2】（2020·上海市金山中学高二期末）平面内直线 上有两个不同点到直线 的距离相等，则两直线的位置关系是______. 【答案】平行或相交； 【分析】由平面内两直线的位置关系可得：平面内直线 上有两个不同点到直线 的距离相等， 则这两直线平行或相交，得解. 【详解】解：平面内直线 上有两个不同点到直线 的距离相等， 由平面中两直线的位置关系可得这两直线平行或相交， 故答案为：平行或相交. 【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系，属基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）由一条直线和直线外的5个点可确定平面的个数最多为______. 【答案】15 【分析】根据题意，分析可得当直线外的5个点任意三点不共线时，确定的平面个数最多，进而分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，当直线外的5个点任意三点不共线时，确定的平面个数最多， 此时这5个点可以确定 个平面， 直线和直线一点可以确定一个平面，可以确定 个平面， 则一共可以确定 个平面； 故答案为：15. 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及平面的确定方法，属于基础题． 【变式4】（2020·上海高三专题练习）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证：三条交线交于一点或互相平行． 【分析】证明时分两种情况（1）当三线交于一点时，先由两线交于一点，再证明这点也在第三条直线上， （2）当三线平行时，先由两线平行，再证明第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可. 【详解】已知：设三个平面为 ，且 ， ， ， 求证： 、 、 交于一点，或 . （1）如图①若 与 交于一点 ，集 ， 由 ，且 ，得 又 ， ，得 ， ， 直线 交于一点. （2）如图②，若 ，由 ，且 ， ， 又由 ，且 ， 【点睛】本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用问题，属于基础题型. 【变式5】（2020·上海高三专题练习）如图，已知 的各顶点都在平面 外，且直线 ， ， 分别与平面 交于点 ， ， ，求证： ， ， 三点共线. 【分析】先连接 ，确定平面 ，再证明点 在 上，即可得出结论成立. 【详解】因为 ， ，连接 ， 又 平面 ， 所以平面 ， 又因为 ， 所以 ，且 平面 ， 即点 为平面 与平面 的公共点， 所以 ， 因此 ， ， 三点共线. 【点睛】本题主要考查证明三点共线，熟记平面的性质，以及点线面位置关系即可，属于常考题型. 【考点2】 ：空间直线与直线的位置关系 例题2．（2020·上海高二期末）“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果. 【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立； 若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立 “两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件 故选 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 【变式1】（2020·上海高三专题练习）如图，在立方体 中，